《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知函数$f(x) = 2x^3 - x^2 - 3x + 1$。
（1）求证：$f(x)$在区间$(1, 2)$上存在零点；
（2）若$f(x)$的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算$f(x) = 0$的一个近似解（精确度为$0.1$）。

答案： 10.解
(1) 证明：因为$f(x)=2x^3 - x^2 - 3x + 1$，所以$f(1)= -1＜0$，$f(2)=7＞0$，所以$f(1)· f(2)＜0$，又$f(x)=2x^3 - x^2 - 3x + 1$在$(1,2)$上连续，因此$\exists x_0\in(1,2)$，使$f(x_0)=0$，所以$f(x)$在区间$(1,2)$上存在零点.
(2)由
(1)可知，$f(x)$在$(1,2)$上存在零点，且$f(1)= -1$，$f(1.5)=1＞0$，所以零点在$(1,1.5)$上，因为$f(1.25)= -0.40625$，$f(1.5)=1$，所以零点在$(1.25,1.5)$上，因为$f(1.375)\approx0.18359$，所以零点在$(1.25,1.375)$上，因为$f(1.3125)\approx -0.13818$，所以零点在$(1.3125,1.375)$上，又$|1.3125 - 1.375| = 0.0625＜0.1$，所以$f(x)=0$的一个近似解为$1.3125$.

11. 用二分法求方程$x - 2\lg \frac{1}{\sqrt{x}} = 3$的近似解，可以取的一个区间是 (C)

A.$(0, 1)$
B.$(1, 2)$
C.$(2, 3)$
D.$(3, 4)$

答案： 11.C 令$f(x)=x - 2\lg\frac{1}{\sqrt{x}}-3$，则$f(2)=2 - 2\lg\frac{1}{\sqrt{2}}-3=2 - 2×(-\frac{1}{2})\lg 2 - 3=\lg 2 - 1＜0$，$f(3)=3 - 2\lg\frac{1}{\sqrt{3}}-3=\lg 3＞0$，
∴用二分法求方程$x - 2\lg\frac{1}{\sqrt{x}}=3$的近似解，可以取的一个区间是$(2,3)$.

12. (多选)(2025·福建三明期中)若函数$f(x)$的图象是连续的，且函数$f(x)$的唯一零点同时在区间$(0, 4)$，$(0, 2)$，$(1, \frac{3}{2})$，$(\frac{5}{4}, \frac{3}{2})$内，则与$f(0)$符号不同的是 (BD)

A.$f(\frac{5}{4})$
B.$f(2)$
C.$f(1)$
D.$f(\frac{3}{2})$

答案： 12.BD 由二分法的步骤可知：①零点在区间$(0,4)$内，则有$f(0)· f(4)＜0$，不妨设$f(0)＞0$，$f(4)＜0$，取中点$2$；②零点在区间$(0,2)$内，则有$f(0)· f(2)＜0$，$f(0)＞0$，$f(2)＜0$，取中点$1$；③零点在区间$(1,2)$内，则有$f(1)· f(2)＜0$，则$f(1)＞0$，$f(2)＜0$，取中点$\frac{3}{2}$；④零点在区间$(1,\frac{3}{2})$内，则有$f(1)· f(\frac{3}{2})＜0$，则$f(1)＞0$，$f(\frac{3}{2})＜0$，取中
点$\frac{5}{4}$；⑤零点在区间$(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$内，则有$f(\frac{5}{4})· f(\frac{3}{2})＜0$，则$f(\frac{5}{4})＞0$，$f(\frac{3}{2})＜0$，所以与$f(0)$符号不同的是$f(4)$，$f(2)$，$f(\frac{3}{2})$.

13. 已知$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$在区间$(n, n + 1)$($n \in \mathbf{Z}$)上有一个零点$x_0$，则$n = $1$$。若用二分法求$x_0$的近似值(精确度为$0.01$)，则至少需要将区间等分7次。

答案： 13.1 7
解析 $f(x)=\frac{1}{x}-\ln x$在$(0,+\infty)$上为减函数，又$f(1)=1＞0$，$f(2)=\frac{1}{2}-\ln 2＜0$，所以$f(x)$的零点$x_0\in(1,2)$，故$n = 1$.设至少需要将区间等分$n$次，则$(\frac{1}{2})^n\leq0.01$且$n\in N$，解得$n\geq7$，故至少需要将区间等分$7$次.

14. 证明函数$f(x) = x^3 - x^2 + 5$，$x \in [-2, -1]$有零点，并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于$0.1$）时，至少需要进行多少次函数值的计算。

答案： 14.解 因为$f(-2)= -8 - 4 + 5 = -7＜0$，$f(-1)= -1 - 1 + 5 = 3＞0$，所以函数$f(x)=x^3 - x^2 + 5$在区间$[-2,-1]$上有零点$x_0$.
至少需要进行$3$次函数值的计算，理由如下：
取区间$[-2,-1]$的中点$x_1=\frac{-2 - 1}{2}=-\frac{3}{2}$，且$f(-\frac{3}{2})=-\frac{27}{8}-\frac{9}{4}+5=-\frac{5}{8}＜0$，所以$x_0\in[-\frac{3}{2},-1]$.
取区间$[-\frac{3}{2},-1]$的中点$x_2=\frac{-\frac{3}{2}-1}{2}=-\frac{5}{4}$，且$f(-\frac{5}{4})=(-\frac{5}{4})^3 - (-\frac{5}{4})^2 + 5＞0$，所以$x_0\in[-\frac{3}{2},-\frac{5}{4}]$.
取区间$[-\frac{3}{2},-\frac{5}{4}]$的中点$x_3=\frac{-\frac{5}{4}-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{11}{8}$，且$f(-\frac{11}{8})=(-\frac{11}{8})^3 - (-\frac{11}{8})^2 + 5＞0$，所以$x_0\in[-\frac{3}{2},-\frac{11}{8}]$.
因为$0.1＜-\frac{11}{8}-(-\frac{3}{2})＜0.2$，所以区间$[-\frac{3}{2},-\frac{11}{8}]$的中点$x_4=\frac{-\frac{3}{2}-\frac{11}{8}}{2}=-\frac{23}{16}$即为零点的近似值，即$x_0\approx-\frac{23}{16}$，所以至少需要进行$3$次函数值的计算.

15. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数$x$的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$($a, b, c, d \in \mathbf{N}_+$)，则$\frac{b + d}{a + c}$是$x$的更为精确的不足近似值或过剩近似值。我们知道$e = 2.71828·s$，若令$\frac{27}{10} ＜ e ＜ \frac{14}{5}$，则第一次用“调日法”后得$\frac{41}{15}$是$e$的更为精确的过剩近似值，即$\frac{27}{10} ＜ e ＜ \frac{41}{15}$，若每次都取得最简分数，那么第三次用“调日法”后可得$e$的近似分数为 (C)

A.$\frac{109}{40}$
B.$\frac{68}{25}$
C.$\frac{19}{7}$
D.$\frac{87}{32}$

答案： 15.C 第一次用“调日法”后得到的$\frac{41}{15}$是$e$的更为精确的过剩近似值，即$\frac{27}{10}＜e＜\frac{41}{15}$；第二次用“调日法”后得到的$\frac{68}{25}$是$e$的更为精确的过剩近似值，即$\frac{27}{10}＜e＜\frac{68}{25}$，第三次用“调日法”后得到的$\frac{19}{7}$是$e$的更为精确的不足近似值，即$\frac{19}{7}＜e＜\frac{68}{25}$.故选C.