《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 命题“$\forall x\geqslant \sqrt{3},x^{2}\geqslant 3$”的否定为(D)

A.“$\forall x\leqslant \sqrt{3},x^{2}\geqslant 3$”
B.“$\exists x\lt \sqrt{3},x^{2}\lt 3$”
C.“$\forall x\geqslant \sqrt{3},x^{2}\lt 3$”
D.“$\exists x\geqslant \sqrt{3},x^{2}\lt 3$”

答案： 1.D 命题“$\forall x\geq\sqrt{3},x^{2}\geq3$”的否定为“$\exists x\geq\sqrt{3},x^{2}＜3$”.

2. 命题$\exists x\in \{x\mid x\gt 0\},x^{2}=x - 1$的否定是(C)

A.$\exists x\in \{x\mid x\gt 0\},x^{2}\neq x - 1$
B.$\exists x\notin \{x\mid x\gt 0\},x^{2}=x - 1$
C.$\forall x\in \{x\mid x\gt 0\},x^{2}\neq x - 1$
D.$\forall x\notin \{x\mid x\gt 0\},x^{2}=x - 1$

答案： 2.C 命题$\exists x\in\{x|x＞0\},x^{2}=x - 1$是存在量词命题，其否定形式为$\forall x\in\{x|x＞0\},x^{2}\neq x - 1$.

3. 已知命题$p$：“$\exists x\gt 1,x^{3}-x^{2}\gt 2$”，则(A)

A.$p$为真命题，且$p$的否定是“$\forall x\gt 1,x^{3}-x^{2}\leqslant 2$”
B.$p$为真命题，且$p$的否定是“$\forall x\gt 1,x^{3}-x^{2}\lt 2$”
C.$p$为假命题，且$p$的否定是“$\forall x\gt 1,x^{3}-x^{2}\leqslant 2$”
D.$p$为假命题，且$p$的否定是“$\forall x\gt 1,x^{3}-x^{2}\lt 2$”

答案： 3.A 因为当$x = 2$时，$2^{3}-2^{2}=4＞2$，所以$p$为真命题，$p$的否定是“$\forall x＞1,x^{3}-x^{2}\leq2$”.

4. (多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(AC)

A.$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}-x+\frac{1}{4}\lt 0$
B.所有的正方形都是矩形
C.$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}+2x + 2\leqslant 0$
D.至少有一个实数$x$，使$x^{3}+1 = 0$

答案： 4.AC 命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题.易知A、C为假命题，D为真命题，故选AC.

5. (2024·河南新乡期末)命题$p$：$ax^{2}+2x + 1 = 0$有实数根，若$\neg p$是假命题，则实数$a$的取值范围是(B)

A.$\{a\mid a\lt 1\}$
B.$\{a\mid a\leqslant 1\}$
C.$\{a\mid a\gt 1\}$
D.$\{a\mid a\geqslant 1\}$

答案： 5.B $\neg p$是假命题，则$p$为真命题.当$a = 0$时，即$2x + 1 = 0$有实数根，解得$x=-\frac{1}{2}$，故符合要求；
当$a\neq0$时，即有$\Delta=4 - 4a\geq0$，解得$a\leq1$且$a\neq0$.
综上所述，$a\leq1$.

6. (多选)(2024·湖南长沙期中)已知两个命题：
(1)若$x\gt 0$，则$2x + 1\gt 5$；(2)若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等，则下列说法正确的是(AB)
A.命题(2)是全称量词命题
B.命题(1)的否定是：存在$x\gt 0$，$2x + 1\leqslant 5$
C.命题(2)的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等
D.命题(1)和(2)被否定后，都是真命题

答案： 6.AB 对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等，等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确；对于B，命题
(1)的否定为：存在$x＞0$，$2x + 1\leq5$，故B正确；对于C，命题
(2)的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误；对于D，由于命题
(2)：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误.

7. “所有的$a\in A$都不满足性质$P$”的否定形式是存在$a\in A$满足性质$P$。

答案： 7.存在$a\in A$满足性质$P$
解析 由全称量词命题的否定形式可知“所有的$a\in A$都不满足性质$P$”的否定形式是“存在$a\in A$满足性质$P$”.

8. 已知命题$p$：“$\forall x\geqslant 3$，使得$2x - 1\geqslant m$”是真命题，则实数$m$的最大值是5。

答案： 8.5
解析 当$x\geq3$时，$2x\geq6\Rightarrow2x - 1\geq5$，因为“$\forall x\geq3$，使得$2x - 1\geq m$”是真命题，所以$m\leq5$，即$m$的最大值是$5$.

9. (链接教材$P31$例$5$)写出下列命题$p$的否定，判断真假并说明理由。
(1)$p$：$\exists x\in \mathbf{R},x^{2} = - 1$；
(2)$p$：不论$m$取何实数，关于$x$的方程$m^{2}x^{2}+x - 1 = 0$必有实数根；
(3)$p$：有的平行四边形的对角线相等；
(4)$p$：等腰梯形的对角线互相平分。

答案： 9.解
(1)因为$p:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}=-1$，所以命题$p$的否定：$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}\neq - 1$.
显然当$x\in\mathbf{R}$时，$x^{2}\geq0$，$x^{2}\neq - 1$，命题$p$的否定为真命题.
(2)因为$p$：不论$m$取何实数，关于$x$的方程$m^{2}x^{2}+x - 1 = 0$必有实数根，
所以命题$p$的否定：存在实数$m$，关于$x$的方程$m^{2}x^{2}+x - 1 = 0$没有实数根.
当$m = 0$时，方程$x - 1 = 0$有实数根，当$m\neq0$时，方程$m^{2}x^{2}+x - 1 = 0$的判别式$\Delta=1 + 4m^{2}＞0$，故命题$p$的否定为假命题.
(3)$p$：有的平行四边形的对角线相等，命题$p$的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等，
则命题$p$的否定是假命题.
(4)$p$：等腰梯形的对角线互相平分，命题$p$的否定：存在一个等腰梯形，它的对角线不互相平分，则命题$p$的否定是真命题.