《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 用五点法作函数$ y = 2\sin x $的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是 (A)

A.$ 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi $
B.$ 0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\pi $
C.$ 0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi $
D.$ 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3} $

答案： 1.A　由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为$0$，$\frac{\pi}{2}$，$\pi$，$\frac{3\pi}{2}$，$2\pi$。

2. (多选)下列命题中为真命题的是 (ABC)

A.$ y = \sin x,x\in\mathbf{R} $的图象关于点$ (\pi,0) $成中心对称
B.$ y = \cos x,x\in\mathbf{R} $的图象关于直线$ x = \pi $成轴对称
C.$ y = \sin x,y = \cos x $的图象不超过直线$ y = 1 $和$ y = -1 $所夹的范围
D.正弦曲线向右平移$ \frac{\pi}{2} $个单位长度得到余弦曲线

答案： 2.ABC　观察正弦曲线与余弦曲线，得选项A、B、C为真命题。正弦曲线向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度得到余弦曲线，选项D为假命题，故选ABC。

3. 图中的曲线对应的函数解析式是 (C)


A.$ y = |\sin x| $
B.$ y = \sin|x| $
C.$ y = -\sin|x| $
D.$ y = -|\sin x| $

答案： 3.C　因为$y$轴右侧的图象与函数$y = \sin x$的图象关于$x$轴对称，所以$y$轴右侧的图象对应的函数解析式为$y = -\sin x$。又整个图象关于$y$轴对称，所以函数解析式应为$y = -\sin|x|$。

4. (2025·福建三明期末)在$ [0,2\pi] $内，不等式$ \sin x ＜ -\frac{\sqrt{3}}{2} $的解集是 (C)

A.$ (0,\pi) $
B.$ \left( \frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3} \right) $
C.$ \left( \frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3} \right) $
D.$ \left( \frac{5\pi}{3},2\pi \right) $

答案：
4.C　画出函数$y = \sin x$，$x \in [0,2\pi]$的简图，如图所示。当$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$x = \frac{4\pi}{3}$或$x = \frac{5\pi}{3}$，可知不等式$\sin x ＜ -\frac{\sqrt{3}}{2}$在$[0,2\pi]$上的解集是$(\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3})$。
　　　　　　　

5. (多选)函数$ y = \cos x + 4,x\in[0,2\pi] $的图象与直线$ y = 4 $的交点的坐标可以为 (CD)

A.$ (0,4) $
B.$ \left( \frac{\pi}{3},4 \right) $
C.$ \left( \frac{\pi}{2},4 \right) $
D.$ \left( \frac{3\pi}{2},4 \right) $

答案： 5.CD　由$\begin{cases}y = \cos x + 4 \\ y = 4 \end{cases}$解得$\cos x = 0$，当$x \in [0,2\pi]$时，$x = \frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{2}$，$\therefore$交点坐标为$(\frac{\pi}{2},4)$，$(\frac{3\pi}{2},4)$。

6. 方程$ 2^{x} = \cos x $的实数解有 (D)

A.0个
B.1个
C.2个
D.无穷多个

答案：
6.D　作出函数$y = 2^x$与$y = \cos x$的图象，如图，观察图象可知，$y = 2^x$的图象向左无限延伸，且与$x$轴无限靠近，因此与$y = \cos x$的图象有无穷多个交点，$\therefore$方程$2^x = \cos x$的实数解有无穷多个。
　　　　　　　　　　　　　　

7. 若方程$ \sin x = 4m + 1 $在$ x\in[0,2\pi] $上有解，则实数$ m $的取值范围是$\left[-\frac{1}{2},0\right]$。

答案： 7.$\left[-\frac{1}{2},0\right]$ 解析　由正弦函数的图象，知当$x \in [0,2\pi]$时，$\sin x \in [-1,1]$，要使方程$\sin x = 4m + 1$在$x \in [0,2\pi]$上有解，则$-1 \leq 4m + 1 \leq 1$，故$-\frac{1}{2} \leq m \leq 0$。

8. 已知$ y = \sin x $和$ y = \cos x $图象的连续三个交点$ A,B,C $构成$ \triangle ABC $，则$ \triangle ABC $的面积为$\sqrt{2}\pi$。

答案： 8.$\sqrt{2}\pi$ 解析　由正、余弦函数的图象可知，由$y = \sin x$和$y = \cos x$图象的连续三个交点A，B，C构成的$\triangle ABC$是等腰三角形，且$\triangle ABC$的底边长为$2\pi$，高为$\sqrt{2}$，$\therefore \triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 2\pi × \sqrt{2} = \sqrt{2}\pi$。

9. 已知函数$ f(x) = -2\cos x + 3 $，完成下面表格，并用“五点法”作出函数$ f(x) $在$ [0,2\pi] $上的简图。

答案：
9.解　补充完整的表格如表：
$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$f(x)$ $1$ $3$ $5$ $3$ $1$
描点、连线得函数$f(x) = -2\cos x + 3(0 \leq x \leq 2\pi)$的图象如图所示。