《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

11. (2024·浙江杭州期中)若关于$x$的不等式$\frac{ax - 1}{x + b} ＞ 0$的解集是$\{x\mid - 1 ＜ x ＜ 3\}$，则关于$x$的不等式$\frac{2ax + 1}{2x - b} ＜ 0$的解集是 (B)

A.$\{x\mid -\frac{3}{2} ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$
B.$\{x\mid x ＜ -\frac{3}{2} 或 x ＞ \frac{1}{2}\}$
C.$\{x\mid -\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{3}{2}\}$
D.$\{x\mid x ＜ -\frac{1}{2} 或 x ＞ \frac{3}{2}\}$

答案： 11.B 因为$\frac {ax - 1}{x + b} ＞ 0$等价于$(ax - 1)(x + b) ＞ 0$，
所以$(ax - 1)(x + b) = 0$的两根为$\frac {1}{a}$，$- b$，
因为不等式解集为$\{ x\mid - 1 ＜ x ＜ 3\}$，
所以$a ＜ 0$，所以$\frac {1}{a} = - 1$，$- b = 3$，
则$a = - 1$，$b = - 3$，
则$\frac {2ax + 1}{2x - b} ＜ 0$即$\frac { - 2x + 1}{2x + 3} ＜ 0$，等价于$(2x + 3)(2x - 1) ＞ 0$，
解得$\begin{cases} x ＜ - \frac {3}{2} \\或 x ＞ \frac {1}{2} \end{cases}$.

12. 正数$a$，$b$满足$\frac{1}{a} + \frac{9}{b} = 1$，若不等式$a + b \geq - x^2 + 4x + 18 - m$对任意实数$x$恒成立，则实数$m$的取值范围是 (D)

A.$\{m\mid m \geq 3\}$
B.$\{m\mid m \leq 3\}$
C.$\{m\mid m \leq 6\}$
D.$\{m\mid m \geq 6\}$

答案： 12.D $\because a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$\frac {1}{a} + \frac {9}{b} = 1$，
$\therefore a + b = (a + b) \left( \frac {1}{a} + \frac {9}{b} \right) = 10 + \frac {b}{a} + \frac {9a}{b} \geq 10 + 2 \sqrt { \frac {b}{a} · \frac {9a}{b} } = 16$，
当且仅当$3a = b$，即$a = 4$，$b = 12$时，“$=$”成立.
若不等式$a + b \geq - x^2 + 4x + 18 - m$对任意实数$x$恒成立，
则$- x^2 + 4x + 18 - m \leq 16$，即$- x^2 + 4x + 2 \leq m$对任意实数$x$恒成立，只需$m \geq ( - x^2 + 4x + 2)_{\max}$.
$\because - x^2 + 4x + 2 = - (x - 2)^2 + 6 \leq 6$，$\therefore m \geq 6$，故选D.

13. 某服装公司生产的衬衫，在某城市年销售$8$万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额$r\%$的代理费。为此，该衬衫每件价格要提高到$\frac{80}{1 - r\%}$元才能保证公司利润。由于提价，每年将少销售$0.62r$万件，如果代理商每年收取的代理费不少于$16$万元，则$r$的取值范围是$\frac {100}{31} \leq r \leq 10$。

答案： 13.$\frac {100}{31} \leq r \leq 10$
解析 由题可知，提价后每年可销售$(8 - 0.62r)$万件，
所以$0 ＜ r ＜ \frac {400}{31}$，$1 - r\% · (8 - 0.62r) · r\% \geq 16$，
整理得，$3.1r^2 - 41r + 100 \leq 0$，解得$\frac {100}{31} \leq r \leq 10$.

14. 某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业芯片研发部原有$100$名技术人员，年人均投入$a(a ＞ 0)$万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员$x$名（$x \in N$且$45 \leq x \leq 75$），调整后研发人员的年人均投入增加$4x\%$，技术人员的年人均投入调整为$a\left(m - \frac{2x}{25}\right)$万元。
(1) 要使这$(100 - x)$名研发人员的年总投入不低于调整前$100$名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多是多少；
(2) 是否存在这样的实数$m$，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：
① 技术人员的年人均投入始终不减少；② 研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？

答案： 14.解
(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为$(1 + 4x\%)a$万元，
则$(100 - x)(1 + 4x\%)a \geq 100a(a ＞ 0)$，即$3x - \frac {x^2}{25} \geq 0$，解得$0 \leq x \leq 75$，
又$x \in N$且$45 \leq x \leq 75$，所以调整后的技术人员的人数最多为75.
(2)由①得$a \left( m - \frac {2x}{25} \right) \geq a$，解得$m \geq \frac {2x}{25} + 1$，
由②得$(100 - x)(1 + 4x\%)a \geq x \left( m - \frac {2x}{25} \right) a$，两边同时除以$ax$，得到$\left( \frac {100}{x} - 1 \right) \left( 1 + \frac {x}{25} \right) \geq m - \frac {2x}{25}$，整理得到$m \leq \frac {100}{x} + \frac {x}{25} + 3$，
故有$\frac {2x}{25} + 1 \leq m \leq \frac {100}{x} + \frac {x}{25} + 3$，
又$\frac {100}{x} + \frac {x}{25} + 3 \geq 2 \sqrt { \frac {100}{x} · \frac {x}{25} } + 3 = 7$，当且仅当$\frac {100}{x} = \frac {x}{25}$，
即$x = 50$时取等号，所以$m \leq 7$，
又因为$45 \leq x \leq 75$，所以当$x = 75$时，$\frac {2x}{25} + 1$取得最大值7，
所以$7 \leq m \leq 7$，
故存在$m = 7$满足条件.

15. 数学中有些优美的曲线显示了数学形象美、对称美、和谐美，曲线$C$：$(x^2 + y^2)^3 = 16x^2y^2$就是四叶玫瑰线，则不等式$(x^2 + y^2)^3 \leq 16x^2y^2$表示区域所含的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 (C)


A.$1$
B.$4$
C.$5$
D.$9$

答案： 15.C 因为$\sqrt {x^2y^2} \leq \frac {x^2 + y^2}{2}$，所以$(x^2 + y^2)^3 \leq 16x^2y^2$可化为$(x^2 + y^2)^3 \leq 16 \left( \frac {x^2 + y^2}{2} \right)^2$，得$x^2 + y^2 \leq 4$，当且仅当$x^2 = y^2$时取等号，经检验，只有$(1,1)$，$(1, - 1)$，$( - 1,1)$，$( - 1, - 1)$和$(0,0)$共5个整点满足$(x^2 + y^2)^3 \leq 16x^2y^2$.故选C.