《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

11. (2025·江苏连云港期末)某时钟显示的时刻为$10:10$，若将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为 (B)

A.$\dfrac{2\pi}{3}$
B.$\dfrac{23\pi}{36}$
C.$\dfrac{11\pi}{18}$
D.$\dfrac{7\pi}{12}$

答案： 11.B　时钟有12个刻度，相邻两个刻度之间优弧所对的圆心角为$\frac{2π}{12}$ = $\frac{π}{6}$，当时针指向10，分针指向2时，时针与分针所夹的钝角为4×$\frac{π}{6}$ = $\frac{2π}{3}$；但当分针指向2时，时针由10向11移动了$\frac{1}{6}$×$\frac{π}{6}$ = $\frac{π}{36}$，故该时刻的时针与分针所夹的钝角为$\frac{2π}{3}$ - $\frac{π}{36}$ = $\frac{23π}{36}$.

12. (多选)圆的一条弦的长度等于半径长，则这条弦所对的圆周角的弧度数为 (AD)

A.$\dfrac{\pi}{6}$
B.$\dfrac{\pi}{3}$
C.$\dfrac{2\pi}{3}$
D.$\dfrac{5\pi}{6}$

答案： 12.AD　设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π - 2α.由于弦长等于半径长，所以2α = $\frac{π}{3}$或2π - 2α = $\frac{π}{3}$，解得α = $\frac{π}{6}$或α = $\frac{5π}{6}$.

13. 若角$\alpha$的终边与角$\dfrac{\pi}{6}$的终边关于直线$y = x$对称，且$\alpha\in(-4\pi,4\pi)$，则$\alpha =$−$\frac{11π}{3}$或−$\frac{5π}{3}$或$\frac{π}{3}$或$\frac{7π}{3}$。

答案：
13.−$\frac{11π}{3}$或−$\frac{5π}{3}$或$\frac{π}{3}$或$\frac{7π}{3}$
　解析　如图所示，设角$\frac{π}{6}$的终边为OA，
　OA关于直线y = x对称的射线为OB，
　　　　　　　　　　　　　　　　　
则以OB为终边且在0到2π之间的角为$\frac{π}{3}$，故以OB为终边的角的集合为{α|α = 2kπ + $\frac{π}{3}$,k∈Z}.
∵α∈(−4π,4π)，
∴−4π＜2kπ + $\frac{π}{3}$＜4π，
∴−$\frac{13}{6}$＜k＜$\frac{11}{6}$.
∵k∈Z，
∴k = −2或−1或0或1，
∴α = −$\frac{11π}{3}$或−$\frac{5π}{3}$或$\frac{π}{3}$或$\frac{7π}{3}$.

14. 某镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为$400\ \mathrm{m}$，所在圆的半径为$r$，扇形的圆心角的弧度数为$\theta$，$\theta\in(0,2\pi)$。
（1）求绿化区域面积$S$关于$r$的函数关系式，并指出$r$的取值范围；
（2）扇形的圆心角的弧度数$\theta$取何值时，才能使绿化区域的面积$S$最大？

答案： 14.解　
(1)由题意可得$\begin{cases}r＞0\\2r＜400\end{cases}$，解得0＜r＜200，扇形的弧长为l = 400 - 2r，所以S = $\frac{1}{2}$lr = $\frac{1}{2}$×(400 - 2r)·r = 200r - r² = -(r - 100)² + 10000，其中r∈(0,200).
(2)由
(1)得当r = 100时，S取得最大值，即Sₘₐₓ = 10000m².此时，l = 400 - 2×100 = 200，θ = $\frac{l}{r}$ = $\frac{200}{100}$ = 2.
　　因此，当θ = 2时，绿化区域的面积S最大.

15. 刘徽是我国古代著名数学家，他认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成，那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形(如图1)，该圆(周长为$L$，半径为$R$)的面积与等腰三角形的面积相等，即$S_{圆} = S_{等腰三角形} = \dfrac{1}{2}L· R$。若某图形由圆心角为$\alpha$，弧长为$l$的扇形剪去一个小扇形得到，且它们所在圆的半径差为$d$(如图2)，运用这种积线成面的面积观，则该图形的面积$S = $ld - $\frac{1}{2}$αd²(用$\alpha$，$l$，$d$表示)。

答案：
15.ld - $\frac{1}{2}$αd²
　解析　由题意知，大扇形的半径为$\frac{l}{\alpha}$，小扇形的半径为$\frac{l}{\alpha}$ - d，
　　由题意可知该图形的面积等于对应梯形的面积，如图，梯形上底为($\frac{l}{\alpha}$ - d)·α，下底为l，高为d，即S = $\frac{1}{2}$[($\frac{l}{\alpha}$ - d)α + l]d = ld - $\frac{1}{2}$αd².