《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 下列选项中，能够构成集合的是 (C)

A.立德中学2025级个子较高的学生
B.高中数学人教A版必修第一册中的难题
C.关于$ x $的方程$ x^2 - 1 = 0 $的所有实根
D.无限接近于$ \pi $的所有实数

答案： 1.C 对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中元素的确定性，故A错误；对于B，难题，概念模糊，不符合集合中元素的确定性，故B错误；对于C，$x^{2}-1=0$的根为$x=\pm1$，故集合为$\{-1,1\}$，故C正确；对于D，无限接近于$\pi$，概念模糊，不符合集合中元素的确定性，故D错误.故选C.

2. (2025·山东青岛二中月考)若$ a $是$ \mathbf{R} $中的元素，但不是$ \mathbf{Q} $中的元素，则$ a $可以是 (D)

A.$ 3.14 $
B.$ -5 $
C.$ \dfrac{3}{7} $
D.$ \sqrt{7} $

答案： 2.D 由题意知$a$是实数，但不是有理数，故$a$应为无理数，故$a$可以为$\sqrt{7}$.故选D.

3. 已知集合$ A $中的元素$ x $满足$ 2x - a ＞ 0 $，且$ 1 \notin A $，$ 2 \in A $，则 (D)

A.$ a ＞ 4 $
B.$ a \leqslant 2 $
C.$ 2 ＜ a \leqslant 4 $
D.$ 2 \leqslant a ＜ 4 $

答案： 3.D $\because1\notin A$，$\therefore2×1-a\leq0$，解得$a\geq2$，又$\because2\in A$，$\therefore2×2-a＞0$，解得$a＜4$，$\therefore2\leq a＜4$.

4. (链接教材P5练习T2)给出下列关系：
①$ | - 2 | \notin \mathbf{N}^{*} $；②$ 0 \notin \mathbf{Z} $；③$ \sqrt{2} \in \mathbf{Q} $；④$ - \dfrac{3}{2} \in \mathbf{R} $；
⑤$ 1.\dot{2}\dot{1} \in \mathbf{Q} $。其中错误的个数是 (C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 4.C $|-2|=2\in N^{*}$，所以①错误；$0\in Z$，所以②错误；因为$\sqrt{2}$是无理数，所以$\sqrt{2}\notin Q$，所以③错误；$-\frac{3}{2}\in R$，所以④正确；因为1.21是无限循环小数，是有理数，所以$1.21\in Q$，所以⑤正确.故选C.

5. (2024·江苏宿迁期中)已知$ x $，$ y $为非零实数，代数式$ \dfrac{x}{| x |} + \dfrac{y}{| y |} + \dfrac{| xy |}{xy} $的值所组成的集合是$ M $，则下列判断正确的是 (B)

A.$ 0 \in M $
B.$ - 1 \in M $
C.$ 2 \in M $
D.$ 1 \in M $

答案： 5.B 当$x$，$y$均为负数时，代数式$\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{|xy|}{xy}$的值为$-1$；当$x$，$y$一负一正时，代数式$\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{|xy|}{xy}$的值为$-1$；当$x$，$y$均为正数时，代数式$\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{|xy|}{xy}$的值为3，$\therefore M$中含有的元素为$-1,3$，故只有B正确.故选B.

6. (多选)已知集合$ A $中三个元素分别为$ 2 $，$ x^2 - 3x + 3 $，$ x^2 $，若$ 1 \in A $，则$ x $的取值可能为 (AD)

A.$ - 1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 6.AD 由$1\in A$，得$x^{2}-3x+3=1$或$x^{2}=1$，若$x^{2}-3x+3=1$，解得$x=1$或2，代回集合检验可得$x=2$符合题意，$x=1$舍去，若$x^{2}=1$，解得$x=\pm1$，代回集合检验可得$x=-1$符合题意，$x=1$舍去，综上，$x$的可能取值为$-1$或2.故选AD.

7. 已知集合$ A $是由所有偶数组成的，集合$ B $是由所有奇数组成的，若$ a \in A $，$ b \in B $，则$ a + b $$\notin$$ A $，$ ab $$\in$$ A $。(填“$ \in $”或“$ \notin $”)

答案： 7.$\notin\in$ 解析 $\because a$为偶数，$b$为奇数，$\therefore a+b$为奇数，$ab$为偶数，故$a+b\notin A$，$ab\in A$.

8. 由实数$ x $，$ - x $，$ | x | $，$ \sqrt{x^2} $，$ - \sqrt[3]{x^3} $所组成的集合最多含有2个元素。

答案： 8.2 解析 由于$\sqrt{x^{2}}=|x|$，$-\sqrt[3]{x^{3}}=-x$，并且$x$，$-x$，$|x|$之中至少有2个相等，所以最多含有2个元素.

9. 设$ x \in \mathbf{R} $，集合$ A $中含有三个元素$ 3 $，$ x $，$ x^2 - 2x $。
（1）求实数$ x $应满足的条件；
（2）若$ - 2 \in A $，求实数$ x $的值。

答案： 9.解
(1)根据集合中元素的互异性，可知$\begin{cases}x\neq3,\\x^{2}\neq2x,\\x^{2}-2x\neq3,\end{cases}$即$x\neq0$且$x\neq3$且$x\neq-1$.
(2)因为$x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1\geq-1$，且$-2\in A$，所以$x=-2$.