《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 设集合$A = \{x | x^2 + 3x + 2 = 0\}$，$B = \{x | x^2 + (m + 1)x + m = 0\}$。
（1）用列举法表示集合$A$；
（2）若$x \in B$是$x \in A$的充分条件，求实数$m$的值。

答案： 10.解　
(1)$x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 0$，即$x = - 1$或$x = - 2$，则$A = \{ - 1 , - 2 \}$.
(2)若$x \in B$是$x \in A$的充分条件，则$B \subseteq A$，$x^2 + ( m + 1 ) x + m = 0 \Rightarrow ( x + 1 ) ( x + m ) = 0$，解得$x = - 1$或$x = - m$，当$m = 1$时，$B = \{ - 1 \}$，满足$B \subseteq A$，当$m = 2$时，$B = \{ - 1 , - 2 \}$，同样满足$B \subseteq A$，所以$m = 1$或$m = 2$.

11.(2024·河北承德一中月考)已知集合$A = \{x \in \mathbf{R} | -1 ＜ x ＜ 3\}$，$B = \{x \in \mathbf{R} | -1 ＜ x ＜ m + 1\}$，若$x \in B$成立的一个充分条件是$x \in A$，则实数$m$的取值范围是(A)

A.$\{m | m \geq 2\}$
B.$\{m | m \leq 2\}$
C.$\{m | m ＞ 2\}$
D.$\{m | -2 ＜ m ＜ 2\}$

答案： 11.A　因为$x \in B$成立的一个充分条件是$x \in A$，所以$A \subseteq B$，所以$3 \leq m + 1$，即$m \geq 2$.

12. 集合$A = \{x | -1 ＜ x ＜ 1\}$，$B = \{x | -a ＜ x - b ＜ a\}$。若“$a = 1$”是“$A \cap B \neq \varnothing$”的充分条件，则实数$b$的取值范围是(C)

A.$\{b | -2 \leq b ＜ 0\}$
B.$\{b | 0 ＜ b \leq 2\}$
C.$\{b | -2 ＜ b ＜ 2\}$
D.$\{b | -2 \leq b \leq 2\}$

答案： 12.C　$A = \{ x | - 1 ＜ x ＜ 1 \}$，$B = \{ x | - a ＜ x - b ＜ a \} = \{ x | b - a ＜ x ＜ b + a \}$.因为“$a = 1$”是“$A \cap B \neq \varnothing$”的充分条件，所以$- 1 \leq b - 1 ＜ 1$或$- 1 ＜ b + 1 \leq 1$，即$- 2 ＜ b ＜ 2$.

13. 已知$p: x ＜ -2$或$x ＞ 10$，$q: x ＜ 1 + a$或$x ＞ 1 - a (a ＜ 0)$。若$p$是$q$的必要条件，则实数$a$的取值范围为$\{ a | a \leq - 9 \}$。

答案： 13.$\{ a | a \leq - 9 \}$
　解析
∵$p$是$q$的必要条件，
∴$q \Rightarrow p$，$\begin{cases}1 + a \leq - 2 \\ 1 - a \geq 10 \end{cases}$，解得$a \leq - 9$.

14. （1）是否存在实数$m$，使$2x + m ＜ 0$是$x ＜ -1$或$x ＞ 3$的充分条件？
（2）是否存在实数$m$，使$2x + m ＜ 0$是$x ＜ -1$或$x ＞ 3$的必要条件？

答案： 14.解　
(1)欲使$2x + m ＜ 0$是$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$的充分条件，则只要$\{ x | x ＜ - \frac{m}{2} \} \subseteq \{ x | x ＜ - 1$或$x ＞ 3 \}$，即只需$- \frac{m}{2} \leq - 1$，所以$m \geq 2$.故存在实数$m \geq 2$，使$2x + m ＜ 0$是$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$的充分条件.
(2)欲使$2x + m ＜ 0$是$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$的必要条件，则只要$\{ x | x ＜ - 1$或$x ＞ 3 \} \subseteq \{ x | x ＜ - \frac{m}{2} \}$，这是不可能的.故不存在实数$m$，使$2x + m ＜ 0$是$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$的必要条件.

15.(开放题)“一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$有两个正实数根”的一个充分条件可以为$a ＞ 3$(答案不唯一)；一个必要条件可以为$a ＞ - 1$(答案不唯一)。

答案： 15.$a ＞ 3$(答案不唯一)　$a ＞ - 1$(答案不唯一)
　解析　因为一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$有两个正实数根，所以$\begin{cases}\Delta = a^2 - 4 \geq 0 \\ x_1 + x_2 = a ＞ 0 \end{cases}$，解得$a \geq 2$.故一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$有两个正实数根的一个充分条件可以为$a ＞ 3$；一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$有两个正实数根的一个必要条件可以为$a ＞ - 1$.