《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. （2024·河北保定一中月考）若$\log_{\frac{1}{2}}x = m$，$\log_{\frac{1}{4}}y = m + 2$，求$\frac{x^{2}}{y}$的值。

答案： 10.解 因为$\log_{\frac{1}{2}}x = m$，所以$(\frac{1}{2})^{m} = x$，$x^{2} = (\frac{1}{2})^{2m}$.因为$\log_{\frac{1}{4}}y = m + 2$，所以$(\frac{1}{4})^{m + 2} = y$，$y = (\frac{1}{2})^{2m + 4}$.所以$\frac{x^{2}}{y} = \frac{(\frac{1}{2})^{2m}}{(\frac{1}{2})^{2m + 4}} = (\frac{1}{2})^{-4} = 16$.

11. 若$\log_{x}\sqrt[7]{y} = z$，则$x$，$y$，$z$之间满足(B)

A.$y^{7} = x^{z}$
B.$y = x^{7z}$
C.$y = 7x^{z}$
D.$y = z^{7x}$

答案： 11.B 由题意得$\sqrt[7]{y} = x^{x}$，所以$y = (x^{x})^{7} = x^{7x}$.

12. 将$a^{2b} = N(a ＞ 0$且$a \neq 1)$转化为对数形式，其中错误的是(D)

A.$b = \frac{1}{2}\log_{a}N$
B.$b = \log_{a^{2}}N$
C.$\log_{a^{b}}N = 2$
D.$b = \log_{a}\frac{N}{2}$

答案： 12.D 若$a^{2b} = N$，则$2b = \log_{a}N$，即$b = \frac{1}{2}\log_{a}N$，所以A正确；若$a^{2b} = N$，则$(a^{2})^{b} = N$，即$b = \log_{a^{2}}N$，所以B正确；若$a^{2b} = N$，则$(a^{b})^{2} = N$，即$2 = \log_{a^{b}}N$，所以C正确；由$b = \frac{N}{2\log_{a}N}$得$a^{b} = \frac{N}{2}$，与已知$a^{2b} = N$不相等，所以D错误.

13. 若$a ＞ 0$，$a^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9}$，则$\log_{\frac{2}{3}}a = $3$$。

答案： 13.3 解析 因为$a^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{9}$，$a＞0$，所以$a = (\frac{4}{9})^{\frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{\frac{4}{3}×\frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{3×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{2}$，设$\log_{\frac{2}{3}}a = x$，则$(\frac{2}{3})^{x} = a$，所以$x = 3$，即$\log_{\frac{2}{3}}a = 3$.

14. 已知$\log_{a}b = \log_{b}a(a ＞ 0$，且$a \neq 1$；$b ＞ 0$，且$b \neq 1)$，求证：$a = b$或$a = \frac{1}{b}$。

答案： 14.证明 设$\log_{a}b = \log_{b}a = k$，则$b = a^{k}$，$a = b^{k}$，
$\therefore b = (b^{k})^{k} = b^{k^{2}}$.
$\because b＞0$，且$b\neq1$，$\therefore k^{2} = 1$，即$k = \pm1$.
当$k = - 1$时，$a = \frac{1}{b}$；当$k = 1$时，$a = b$.
$\therefore a = b$或$a = \frac{1}{b}$.

15. (易错题)方程$\log_{x}(x + 2024) = 2$的实数解的个数是(B)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 15.B 依题意，原方程等价于$x^{2} = x + 2024(x＞0,x\neq1)$，即$x^{2} - x - 2024 = 0$，由$\Delta = 1 + 4×2024＞0$，$x_{1}x_{2} = - 2024＜0$，且$1^{2} - 1 - 2024\neq0$，知该方程只有一个正实数解，且不为1，故选B.