《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. $\log_{8}32=$(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$4$
D.$\frac{5}{3}$

答案： 1.D $\log_{8}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}8}=\frac{\log_{2}2^{5}}{\log_{2}2^{3}}=\frac{5}{3}$.

2. $(\log_{4}3+\log_{8}3)(\log_{3}2+\log_{9}2)=$(A)

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$15$
D.$12$

答案： 2.A $(\log_{4}3+\log_{8}3)(\log_{3}2+\log_{9}2)$
$=\left(\frac{1}{2}\log_{2}3+\frac{1}{3}\log_{2}3\right)\left(\log_{3}2+\frac{1}{2}\log_{3}2\right)$
$=\left(\frac{5}{6}\log_{2}3\right)\left(\frac{3}{2}\log_{3}2\right)$
$=\frac{5}{4}×\frac{\lg3}{\lg2}×\frac{\lg2}{\lg3}$
$=\frac{5}{4}$.

3. (2024·江苏淮安期末)已知$2^{a}=5$，则$\lg 2=$(C)

A.$\frac{a}{a + 1}$
B.$\frac{a}{a - 1}$
C.$\frac{1}{a + 1}$
D.$\frac{1}{a - 1}$

答案： 3.C 由$2^{a}=5$得，$a=\log_{2}5=\frac{\lg5}{\lg2}=\frac{1-\lg2}{\lg2}$，则$\lg2=\frac{1}{a + 1}$，故
选C.

4. 设$\log_{3}4·\log_{4}8·\log_{8}m=\log_{4}16$，那么$m$等于(B)

A.$\frac{9}{2}$
B.$9$
C.$18$
D.$27$

答案： 4.B $\because\log_{3}4·\log_{4}8·\log_{8}m=\frac{\lg4}{\lg3}×\frac{\lg8}{\lg4}×\frac{\lg m}{\lg8}=\frac{\lg m}{\lg3}=2$，
$\therefore\lg m = 2\lg3=\lg9$，$\therefore m = 9$，故选B.

5. (2025·山东德州期末)某企业由于引进新的技术，产值逐年增长，如果从2023年起，每年的产值比上一年平均增加$20\%$，那么产值翻两番(即原来的$4$倍)至少经过(参考数据：$\lg 2\approx0.3010,\lg 3\approx0.4771$)(B)

A.$5$年
B.$8$年
C.$11$年
D.$14$年

答案： 5.B 设至少经过$n$年产值翻两番，$n\in\mathbf{N}^{*}$，则$(1 + 20\%)^{n}\geqslant4$，
解得$n\geqslant\log_{1.2}4=\frac{\lg4}{\lg1.2}=\frac{2\lg2}{\lg12 - \lg10}=$
$\frac{2\lg2}{\lg(3×4)-1}=\frac{2\lg2}{\lg3 + 2\lg2 - 1}\approx\frac{2×0.3010}{0.4771 + 2×0.3010 - 1}\approx$
7.61，所以至少经过8年产值翻两番.

6. (多选)已知$10^{a}=2,10^{b}=3$，则(ABC)

A.$\lg 6 = a + b$
B.$\log_{3}4=\frac{2a}{b}$
C.$\log_{2}12=\frac{2a + b}{a}$
D.$\lg\frac{3}{2}=\frac{b}{a}$

答案： 6.ABC 由题意，$a = \lg2$，$b = \lg3$，所以$\lg6 = \lg2 + \lg3 = a +$
$b$，A正确；$\log_{3}4=\frac{\lg4}{\lg3}=\frac{2\lg2}{\lg3}=\frac{2a}{b}$，B正确；$\log_{12}6=\frac{\lg6}{\lg12}=$
$\frac{\lg3 + \lg2}{\lg2}=\frac{2a + b}{a}$，C正确；$\lg\frac{3}{2}=\lg3 - \lg2 = b - a$，D
错误.

7. 若$x·\log_{3}2 = 1$，则$2^{x}=$3。

答案： 7.3
解析 由$x·\log_{3}2 = 1$，得$x = \frac{1}{\log_{3}2}=\log_{2}3$，所以$2^{x}=$
$2^{\log_{2}3}=3$.

8. 设$a\gt0$且$a\neq1,b\gt0$，若$\log_{a}b·\log_{5}a = 3$，则$b =$125。

答案： 8.125
解析 因为$\log_{a}b·\log_{5}a = 3$，所以$\frac{\lg b}{\lg a}·\frac{\lg a}{\lg5}=\frac{\lg b}{\lg5}=3$，所
以$\lg b = 3\lg5 = \lg125$，所以$b = 125$.

9. 求下列各式的值。
(1) $\log_{2}\frac{1}{25}×\log_{3}\frac{1}{8}×\log_{5}\frac{1}{9}$；
(2) $(\log_{2}125 + \log_{4}25 + \log_{8}5)×(\log_{125}8 + \log_{25}4 + \log_{5}2)$。

答案： 9.解
(1)原式$=\frac{\frac{1}{\lg25}×\frac{1}{\lg8}×\frac{1}{\lg\frac{1}{9}}}{\lg2×\lg3×\lg5}=$
$\frac{(-2\lg5)×(-3\lg2)×(-2\lg3)}{\lg2×\lg3×\lg5}=-12$.
(2)原式$=(\log_{2}5^{3}+\frac{\log_{2}25}{\log_{4}4}+\frac{\log_{2}5}{\log_{2}8})×(\log_{3}2+\frac{\log_{9}4}{\log_{9}25}+$
$\frac{\log_{8}125}{\log_{8}125})$
$=(3\log_{2}5+\frac{2\log_{2}5}{\log_{2}2^{2}}+\frac{\log_{2}5}{3\log_{2}2})×(\log_{3}2+\frac{2\log_{3}2}{2\log_{3}5}+\frac{3\log_{2}5}{3\log_{2}5})$
$=(3 + 1+\frac{1}{3})\log_{2}5×3\log_{5}2 = 13\log_{2}5×\log_{5}2 = 13$.