《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. （2024·河北石家庄期中）函数$ f(x)=(\log_{2}x + \log_{2}4)(\log_{2}x + \log_{2}2) $的定义域为$ \left[ \frac{1}{4},4 \right] $。
（1）设$ t = \log_{2}x $，求$ t $的取值范围；
（2）求函数$ f(x) $的最大值与最小值，并求出取最值时对应的$ x $的值。

答案： 10.解　
(1)$t = \log_{2}x$在$[\frac{1}{4},4]$上单调递增，
故$t = \log_{2}x \in [\log_{2}\frac{1}{4},\log_{2}4] = [-2,2]$。
(2)$f(x) = (\log_{2}x + 2)(\log_{2}x + 1) = (\log_{2}x)^{2} + 3\log_{2}x + 2$，令$t = \log_{2}x$，$t \in [-2,2]$，
则$y = t^{2} + 3t + 2 = (t + \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}$，
当$t = -\frac{3}{2}$时，$y_{\min} = -\frac{1}{4}$，此时$\log_{2}x = -\frac{3}{2}$，解得$x = 2^{-\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，
当$t = 2$时，$y_{\max} = 12$，此时$\log_{2}x = 2$，解得$x = 4$。

11. (2025·江西景德镇期末)已知$ \log_{2}a + \log_{2}b = 0(a ＞ 0 且 a \neq 1,b ＞ 0 且 b \neq 1) $，则在同一平面直角坐标系内，函数$ f(x)=a^{x} $与$ g(x)=\log_{b}\frac{1}{x} $的图象可能是 (B)

答案： 11.B　由$\log_{2}a + \log_{2}b = \log_{2}ab = 0$，得$ab = 1$。当$a ＞ 1$时，$0 ＜ b ＜ 1$，函数$f(x) = a^{x}$在$\mathbf{R}$上为增函数，$g(x) = \log_{b}x = -\log_{\frac{1}{b}}x$在$(0, +\infty)$上为增函数，选项B满足；当$0 ＜ a ＜ 1$时，$b ＞ 1$，函数$f(x) = a^{x}$在$\mathbf{R}$上为减函数，$g(x) = -\log_{b}x$在$(0, +\infty)$上为减函数，四个图象均不满足。故选B。

12. (2024·湖南师大附中期中)函数$ f(x)=\log_{a}(2x - 3) + 1(a ＞ 0 且 a \neq 1) $的图象恒过定点$ A(m,n) $。若对任意的正数$ x,y $都有$ mx + ny = 4 $，则$ \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y} $的最小值是(D)

A.$ 2 $
B.$ \frac{39}{22} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{4}{3} $

答案： 12.D　对于函数$f(x) = \log_{a}(2x - 3) + 1(a ＞ 0$且$a \neq 1)$，令$2x - 3 = 1$，可得$x = 2$，且$f(2) = \log_{a}1 + 1 = 1$，所以$A(2,1)$，即$m = 2$，$n = 1$。
对任意的正数$x,y$都有$mx + ny = 4$，即$2x + y = 4$，则$2(x + 1) + y = 6$，所以$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y} = \frac{1}{6}[2(x + 1) + y] · (\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y}) = \frac{1}{6}[4 + \frac{4(x + 1)}{y} + \frac{y}{x + 1}] \geqslant \frac{1}{6}[4 + 2\sqrt{\frac{4(x + 1)}{y} · \frac{y}{x + 1}}] = \frac{4}{3}$，当且仅当$\begin{cases} \frac{4(x + 1)}{y} = \frac{y}{x + 1}, \\ 2x + y = 4, \\ x ＞ 0, \\ y ＞ 0, \end{cases}$即$\begin{cases} x = \frac{1}{2}, \\ y = 3 \end{cases}$时，等号成立。
所以$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y}$的最小值是$\frac{4}{3}$。故选D。

13. (2025·云南昆明期末)已知函数$ f(x)=|\log_{3}x| $的定义域为$ \left[ \frac{1}{3},m \right] $，值域为$ [0,1] $，则满足要求的一个$ m $的值为2(写出$[1,3]$中的任意一个实数即可).

答案： 13.2(写出$[1,3]$中的任意一个实数即可)
解析　当$x = \frac{1}{3}$时，$f(\frac{1}{3}) = |\log_{3}\frac{1}{3}| = 1$，因为函数$f(x) = |\log_{3}x|$的定义域为$[\frac{1}{3},m]$，值域为$[0,1]$，所以$0 \leqslant \log_{3}m \leqslant 1$，解得$1 \leqslant m \leqslant 3$。故可取$m = 2$。

14. 若不等式$ x^{2} - \log_{m}x ＜ 0 $在$ \left( 0,\frac{1}{2} \right) $内恒成立，求实数$ m $的取值范围。

答案：
14.解　由$x^{2} - \log_{m}x ＜ 0$，得$x^{2} ＜ \log_{m}x$，
要使$x^{2} ＜ \log_{m}x$在$(0,\frac{1}{2})$内恒成立，只要$y = \log_{m}x$在$(0,\frac{1}{2})$内的图象恒在$y = x^{2}$图象的上方，于是$0 ＜ m ＜ 1$。
在同一坐标系中作出$y = x^{2}$和$y = \log_{m}x$的大致图象，如图所示。

$\because$当$x = \frac{1}{2}$时，$y = x^{2} = \frac{1}{4}$，$\therefore$只要当$x = \frac{1}{2}$时，$y = \log_{m}\frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{4} = \log_{m}m^{\frac{1}{4}}$，
$\therefore \frac{1}{2} \leqslant m^{\frac{1}{4}}$，即$m \geqslant \frac{1}{16}$，又$0 ＜ m ＜ 1$，$\therefore \frac{1}{16} \leqslant m ＜ 1$。
$\therefore$实数$m$的取值范围是$[\frac{1}{16},1)$。

15. (2025·福建漳州期末)函数$ f(x)=\begin{cases}\left| \log_{\frac{1}{2}}x \right|,x ＞ 0, \\ -x^{2} - 2x,x \leq 0,\end{cases}$直线$ y = b $与$ f(x) $图象的四个交点的横坐标从左到右依次为$ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} $，则$ x_{1} + x_{2} = $ ______ ，$ x_{1} · x_{2} · x_{3} · x_{4} $的取值范围是 ______ .

答案：
15.$-2$　$(0,1)$
解析　由题意，函数$f(x)$和$y = b$的大致图象如图所示。

若$y = b$与$f(x)$的图象有四个交点，则$0 ＜ b ＜ 1$，又$x_{1},x_{2}$关于直线$x = -1$对称，
$\therefore x_{1} + x_{2} = -2$，又$\because x_{3} ＜ 1$，$x_{4} ＞ 1$，
$\therefore |\log_{\frac{1}{2}}x_{3}| = \log_{\frac{1}{2}}x_{3} = b$，$|\log_{\frac{1}{2}}x_{4}| = -\log_{\frac{1}{2}}x_{4} = b$，
$\therefore x_{3} = (\frac{1}{2})^{b}$，$x_{4} = (\frac{1}{2})^{-b}$，$x_{3} · x_{4} = 1$，
令$-x^{2} - 2x = b$，即$x^{2} + 2x + b = 0$，得$x_{1}x_{2} = b$，
$\therefore x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = x_{1}x_{2} = b \in (0,1)$。