《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1.(2024·黑龙江牡丹江二中期末)函数$ y = 3\cos(4x + \frac{\pi}{3}) $的最小正周期是 (B)

A.$ 2\pi $
B.$ \frac{\pi}{2} $
C.$ \frac{\pi}{3} $
D.$ \pi $

答案： 1.B 由题可知最小正周期$T = \frac {2\pi} {4} = \frac {\pi} {2}$.

2. 下列函数是偶函数的是 (C)

A.$ f(x) = \sin 3x $
B.$ g(x) = -\sin 5x $
C.$ h(x) = |\sin 2x| $
D.$ u(x) = \sin x - 3 $

答案： 2.C A选项，$f(x) = \sin 3x$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x) = \sin (-3x) = - \sin 3x = -f(x)$，故$f(x) = \sin 3x$为奇函数，A错误；B选项，$g(x) = - \sin 5x$的定义域为$\mathbf{R}$，且$g(-x) = - \sin (-5x) = \sin 5x = -g(x)$，故$g(x) = - \sin 5x$为奇函数，B错误；C选项，$h(x) = | \sin 2x |$的定义域为$\mathbf{R}$，且$h(-x) = | \sin (-x) | = | \sin x | = h(x)$，故$h(x) = | \sin 2x |$为偶函数，C正确；D选项，$u(x) = \sin x - 3$的定义域为$\mathbf{R}$，且$u(-x) = \sin (-x) - 3 = - \sin x - 3 \neq u(x)$，故$u(x) = \sin x - 3$不是偶函数，D错误.

3. 若函数$ f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{6}) $的最小正周期为$ \pi $，则$ \omega = $ (A)

A.$ \pm 2 $
B.$ 2 $
C.$ \pm 1 $
D.$ 1 $

答案： 3.A 因为$f(x)$的最小正周期$T = \frac {2\pi} {|\omega|} = \pi$，所以$\omega = \pm 2$，故选A.

4. 函数$ f(x) = \frac{(1 - \sin x)\sin x}{1 - \sin x} $是 (D)

A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数

答案： 4.D 由题意，知$\sin x \neq 1$，即$f(x)$的定义域为$\{ x \mid x \neq 2k\pi + \frac {\pi} {2}, k \in \mathbf{Z} \}$，不关于原点对称，故$f(x)$是非奇非偶函数.

5. 已知定义在$ \mathbf{R} $上的奇函数$ f(x) $是以$ \pi $为最小正周期的周期函数，且当$ x \in [0, \frac{\pi}{2}) $时，$ f(x) = \sin x $，则$ f(\frac{5\pi}{3}) $的值为 (C)

A.$ -\frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 5.C $f ( \frac {5\pi} {3} ) = f ( \pi + \frac {2\pi} {3} ) = f ( \frac {2\pi} {3} ) = f ( \pi - \frac {\pi} {3} ) =$
$f ( - \frac {\pi} {3} ) = - f ( \frac {\pi} {3} ) = - \frac {\sqrt {3}} {2}$，故选C.

6. 函数$ f(x) = \sin x $，$ g(x) = \cos x $，则下列结论正确的是 (C)

A.$ f(x)g(x) $是偶函数
B.$ |f(x)|g(x) $是奇函数
C.$ f(x)|g(x)| $是奇函数
D.$ |f(x)g(x)| $是奇函数

答案： 6.C 选项A，因为$f(x)g(x) = \sin x \cos x$的定义域为$\mathbf{R}$，又$f(-x)g(-x) = \sin (-x) \cos (-x) = - \sin x \cos x = -f(x)g(x)$，所以$f(x)g(x)$是奇函数，故A错误；选项B，因为$|f(x)|g(x) = | \sin x | \cos x$的定义域为$\mathbf{R}$，又$|f(-x)| · g(-x) = | \sin (-x) | · \cos (-x) = | \sin x | \cos x = |f(x)|g(x)$，所以$|f(x)|g(x)$是偶函数，故B错误；选项C，因为$f(x)|g(x)| = \sin x | \cos x |$的定义域为$\mathbf{R}$，又$f(-x)|g(-x)| = \sin (-x) | \cos (-x) | = - \sin x | \cos x | = -f(x)|g(x)|$，所以$f(x)|g(x)|$是奇函数，故C正确；选项D，因为$|f(x)g(x)| = | \sin x \cos x |$的定义域为$\mathbf{R}$，又$|f(-x)g(-x)| = | \sin (-x) \cos (-x) | = | \sin x \cos x | = |f(x)g(x)|$，所以$|f(x)g(x)|$是偶函数，故D错误.故选C.

7. 已知$ f(x) = ax\cos^2 x + b\sin x - 1 $且$ f(-3) = 5 $，则$ f(3) = $−7.

答案： 7.−7
解析 设$g(x) = a x \cos ^2 x + b \sin x$，
又$g(-x) = a (-x) \cos ^2 (-x) + b \sin (-x) = - a x \cos ^2 x - b \sin x = - g(x)$，$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，
所以函数$g(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，则$g(-3) = - g(3)$，由$f(-3) = g(-3) - 1 = 5$，得$g(-3) = 6$，所以$g(3) = - 6$，
$f(3) = g(3) - 1 = - 7$.

8. 函数$ y = \cos(\frac{k}{4}x + \frac{\pi}{3})(k ＞ 0) $的最小正周期不大于2，则正整数$ k $的最小值为13.

答案： 8.13
解析 $\because$函数的最小正周期$T = \frac {2\pi} {\frac {k} {4}} = \frac {8\pi} {k} \leq 2$，$\therefore k \geq 4\pi$，
又$k \in \mathbf{Z}$，$\therefore$正整数$k$的最小值为13.

9. 函数$ f(x) $为$ \mathbf{R} $上的偶函数，$ f(x - \frac{\pi}{3}) = f(x + \frac{2\pi}{3}) $，且当$ x \in [0, \frac{\pi}{2}] $时，$ f(x) = \sin x $，求$ f(\frac{5\pi}{3}) $。

答案： 9.解 $\because f ( x - \frac {\pi} {3} ) = f ( x + \frac {2\pi} {3} )$，
$\therefore f(x) = f(x + \pi)$，即$f(x)$为周期为$\pi$的周期函数，
$\therefore f ( \frac {5\pi} {3} ) = f ( \frac {5\pi} {3} - 2\pi ) = f ( - \frac {\pi} {3} )$，
又$\because f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，
$\therefore f ( - \frac {\pi} {3} ) = f ( \frac {\pi} {3} ) = \sin \frac {\pi} {3} = \frac {\sqrt {3}} {2}$，
$\therefore f ( \frac {5\pi} {3} ) = \frac {\sqrt {3}} {2}$.