《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 下列命题中正确的有（ ）
①空间向量就是空间中的一条有向线段；②若A，B，C，D是不共线的四点，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个空间向量，且$\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向不同；④若$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$是两个空间向量，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$的充要条件是A与C重合，B与D重合.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 1.A①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具;②正确，由AB=DC知AB//DC或A,B,C,D四点共线，且|AB|=|DC|,因此在A,B,C,D四点不共线的前提下,AB=DC=四边形ABCD是平行四边形;③错误,不相等的向量方向可以相同;④错误.

2.（2023·河北石家庄期末）已知空间中任意四个点A，B，C，D，则$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{AD}=$（ ）
A. $\overrightarrow{DB}$
B. $\overrightarrow{AD}$
C. $\overrightarrow{DA}$
D. $\overrightarrow{AC}$

答案： 2.B   BA+CB−CD+2AD=BA+DB+2AD=DA+2AD=AD.故选B.

3.（2024·山东青岛二中月考）已知正方体ABCD - $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{1}{4}\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$，若$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AA_{1}}+y(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$，则（ ）
A. $x = 1$，$y=\frac{1}{2}$
B. $x=\frac{1}{2}$，$y = 1$
C. $x = 1$，$y=\frac{1}{3}$
D. $x = 1$，$y=\frac{1}{4}$

答案： 3.D　因为AE=AA+AE=AA+$\frac{1}{4}$AC=AA+$\frac{1}{4}$(AB+AD),所以x=1,y=$\frac{1}{4}$,故选D.

4.（多选）已知平行六面体ABCD - $A'B'C'D'$，则下列四式中正确的有（ ）
A. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}$
B. $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{CC'}$
C. $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}$
D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{AC'}$

答案：
4.ABC　如图，作出平行六面体ABCD 　A'B'C'D',可得AB−CB=AB+BC=　　　　　　　　　　　　　　 AC,故A正确;AB+BC²+CC=　AB+BC+CC=AC故B正确C显然正确;AB+BB²+$\frac{}{BC}$+cC=$\frac{;}{AB}$+BC=AC,故D不正确.故选ABC.

5. 在空间四边形OABC中，$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，点M在OB上，且$\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{MB}$，N为AC的中点，则$\overrightarrow{NM}=$（ ）
A. $-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{3}{4}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
B. $-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
C. $\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{3}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
D. $\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$

答案： 5.A NM=OM−ON=$\frac{3}{4}$OB−$\frac{1}{2}$(OA+āC)=$\frac{3}{4}$b−$\frac{1}{2}$(a+c)=−$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{4}$b−$\frac{1}{2}$c.故选A.

6. 在平行六面体ABCD - $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，向量$\overrightarrow{D_{1}A}$，$\overrightarrow{D_{1}C}$，$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$是（ ）
A. 有相同起点的向量
B. 等长向量
C. 共面向量
D. 不共面向量

答案： 6.C　因为DC−DA=AC,且AC=AC,所以DC−DA=AC,即DC=DA+AC.又DA与A，C 不共线，所以DC,DA,AC三向量共面

7. 在空间四边形ABCD中，连接AC，BD. 若$\triangle BCD$是正三角形，且E为其中心，则$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{AD}$的化简结果为________.

答案：
7.0
　解析　如图,取BC的中点F,连接DF,则　DF=$\frac{3}{2}$DE.故AB+$\frac{1}{2}$BC−$\frac{3}{2}$DE−AD=　　　　　　　　　　　　　　　　 AB+$\frac{2}{BF}$−DF+DA=AF+FD+DA=0.

8. 已知$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$是不共面向量，$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{c}=7\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}+\lambda\boldsymbol{k}$，若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$三个向量共面，则实数$\lambda =$________.

答案： 8.$\frac{\text65}{\text7}$ 解析 $\because a,b,c三个向量共面,\therefore存在实数m,n,使得c = ma+nb,$即 $7 i+5 j+\lambda k=m(2 i-j+3 k)+n(-i +4 j-2 k)$. 

9. 如图所示，在三棱柱ABC - $A_{1}B_{1}C_{1}$中，M是$BB_{1}$的中点，化简下列各式：
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_{1}}$；
(2)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}+\overrightarrow{C_{1}C}$；
(3)$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{CB}$；
(4)$\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}$.

答案： 9.解　
(1)AB+BA=AA.
(2)AB+BC+CC=AB+BC+CC=AC.
(3)AM−BM−CB=AM+MB+BC=AC.
(4)$\frac{1}{2}$AA+AB−AM=BM+AB+MA=AB+BM+MA=0.