《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 函数$ f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^{2}-2x} $的值域为(C)

A.$ (0,1) $
B.$ (0,3) $
C.$ (0,3] $
D.$ (3,+\infty) $

答案： 1.C 令 $t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \in [-1, +\infty)$，得 $y = \left(\frac{1}{3}\right)^t \in (0,3]$，所以 $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x}$ 的值域为 $(0,3]$。

2. 函数$ f(x)=\log_{0.2}(-x^{2}-2x + 3) $的单调递增区间是(C)

A.$ (-\infty,-1) $
B.$ (-1,+\infty) $
C.$ (-1,1) $
D.$ (-3,-1) $

答案： 2.C 函数分成外层函数 $y = \log_{0.2}t$ 与内层函数 $t = -x^2 - 2x + 13$，当内、外层函数单调性一致时，函数单调递增，可知外层函数 $y = \log_{0.2}t$ 单调递减，内层函数的图象开口向下，对称轴是 $x = -1$，且 $-x^2 - 2x + 3 ＞ 0$，解得 $-3 ＜ x ＜ 1$，则内层函数的单调递减区间是 $(-1,1)$。故函数 $f(x) = \log_{0.2}(-x^2 - 2x + 3)$ 的单调递增区间是 $(-1,1)$。

3. 已知$ f(x)=\log_{2}x·\log_{4}\dfrac{16}{x^{2}} $，$ x\in\left[\dfrac{1}{2},8\right] $，则$ f(x) $的值域为(A)

A.$ [-3,1] $
B.$ [-1,3] $
C.$ [0,1] $
D.$ [-3,0] $

答案： 3.A 令 $\log_2 x = t$，则 $t \in [-1,3]$，又 $\log_4 \frac{x^2}{16} = \log_4 16 - \log_4 x^2 = 2 - \log_2 x = 2 - t$，所以原函数可变为 $y = t(2 - t) = -(t - 1)^2 + 1$，$t \in [-1,3]$，所以 $y_{\max} = 1$，$y_{\min} = -3$，所以 $f(x)$ 的值域为 $[-3,1]$。

4. 已知函数$ f(x)=\log_{a}|x + 1| $，在区间$ (-1,0) $上有$ f(x)＞0 $，则下列关于函数$ f(x) $的说法正确的是(B)

A.在区间$ (-\infty,0) $上单调递增
B.在区间$ (-\infty,-1) $上单调递增
C.在区间$ (-\infty,0) $上单调递减
D.在区间$ (-\infty,-1) $上单调递减

答案： 4.B 当 $-1 ＜ x ＜ 0$，即 $0 ＜ x + 1 ＜ 1$ 时，$f(x) = \log_a |x + 1| ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ a ＜ 1$，令 $u = |x + 1| ＞ 0$，$x \neq -1$，则 $u = |x + 1|$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，又函数 $y = \log_a u$ 为减函数，$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递增，在 $(-1,+\infty)$ 上单调递减。

5. 若函数$ f(x)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x^{2}+ax} $在区间$ [1,2) $上单调递减，则$ a $的取值范围是(C)

A.$ a\leqslant -4 $
B.$ a\leqslant -2 $
C.$ a\geqslant -2 $
D.$ a\geqslant -4 $

答案： 5.C 依题意函数 $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2 + ax}$ 在区间 $[1,2)$ 上单调递减，$y = \frac{1}{5^x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，$y = x^2 + ax$ 的图象开口向上，对称轴为 $x = -\frac{a}{2}$，易知 $-\frac{a}{2} \leq 1$，得 $a \geq -2$。故选 C。

6. (2024·湖南株洲期中)已知$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的偶函数，且在$ (-\infty,0] $上是增函数，设$ a = f(\log_{4}7) $，$ b = f(\log_{2}3) $，$ c = f(0.2^{0.4}) $，则$ a $，$ b $，$ c $的大小关系是(A)

A.$ b\lt a\lt c $
B.$ b\lt c\lt a $
C.$ c\lt b\lt a $
D.$ a\lt b\lt c $

答案： 6.A 因为 $1 ＜ \log_4 7 = \frac{1}{2}\log_2 7 = \log_2 \sqrt{7} ＜ \log_2 3$，即 $1 ＜ \log_4 7 ＜ \log_2 3$，又因为 $0 ＜ 0.2^{0.4} ＜ 0.2^0 = 1$，即 $0 ＜ 0.2^{0.4} ＜ 1$，所以 $0 ＜ 0.2^{0.4} ＜ \log_4 7 ＜ \log_2 3$，由题意可知，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调递减，所以 $b ＜ a ＜ c$。

7. (多选)已知函数$ f(x)=\log_{0.5}(x^{2}-3x - 4) $，则下列结论正确的是(ACD)

A.在其定义域内$ f(x) $的值域为$ \mathbf{R} $
B.$ f(x) $的单调递增区间为$ \left(-\infty,\dfrac{3}{2}\right) $
C.对定义域内任意$ x $，$ f(3 + x)=f(-x) $恒成立
D.$ f(x) $的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点

答案： 7.ACD 由 $x^2 - 3x - 4 ＞ 0$ 可得 $x ＜ -1$ 或 $x ＞ 4$，则函数 $f(x) = \log_{0.5}(x^2 - 3x - 4)$ 的定义域为 $\{x|x ＜ -1 或 x ＞ 4\}$，设 $t = g(x) = x^2 - 3x - 4$，则当 $x ＜ -1$ 或 $x ＞ 4$ 时 $t = g(x)$ 的值域是 $(0,+\infty)$，而 $y = \log_{0.5}t$ ($t ＞ 0$) 的值域是 $\mathbf{R}$，所以定义域内 $f(x)$ 的值域为 $\mathbf{R}$，A 正确。
$y = \log_{0.5}t$ ($t ＞ 0$) 单调递减，$t = g(x) = x^2 - 3x - 4$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-1)$，同理 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(4,+\infty)$，B 不正确。
当 $-x ＜ -1$ 时，$3 + x ＞ 4$；当 $-x ＞ 4$ 时，$3 + x ＜ -1$，因为 $t = g(x) = x^2 - 3x - 4$ 的图象关于直线 $x = \frac{3}{2}$ 对称，所以对定义域内任意 $x$，$g(3 + x) = g(-x) ＞ 0$，所以对定义域内任意 $x$，$\log_{0.5}[g(3 + x)] = \log_{0.5}[g(-x)]$ 恒成立，即 $f(3 + x) = f(-x)$ 恒成立，C 正确。
$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-1)$，$f(-2) = \log_{0.5}6 ＜ 0$，$f(-1.1) = \log_{0.5}0.51 ＞ 0$，所以当 $x ＜ -1$ 时，$f(x)$ 有唯一零点在 $(-2,-1.1)$ 内，且 $(-2,f(-2))$ 在第三象限，$(-1.1,f(-1.1))$ 在第二象限；因为 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(4,+\infty)$，$f(4.1) = \log_{0.5}0.51 ＞ 0$，$f(5) = \log_{0.5}6 ＜ 0$，所以当 $x ＞ 4$ 时，$f(x)$ 有唯一零点在 $(4.1,5)$ 内，且 $(5,f(5))$ 在第四象限，$(4.1,f(4.1))$ 在第一象限。综上，$f(x)$ 的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点，D 正确。故选 ACD。

8. (多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设$ x\in\mathbf{R} $，用$ [x] $表示不超过$ x $的最大整数，则$ y = [x] $称为高斯函数，例如：$ [-3.5]= - 4 $，$ [2.1]=2 $。已知函数$ f(x)=\dfrac{2^{x}}{1 + 2^{x}}-\dfrac{1}{2} $，$ g(x)=[f(x)] $，则下列叙述正确的是(BC)

A.$ g(x) $是偶函数
B.$ f(x) $是奇函数
C.$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上是增函数
D.$ g(x) $的值域是$ \{-1,0,1\} $

答案： 8.BC $\because g(1) = [f(1)] = \left[\frac{2}{1 + 2^{-1}} - \frac{1}{2}\right] = \left[\frac{1}{6}\right] = 0$，
$g(-1) = [f(-1)] = \left[\frac{2^{-1}}{1 + 2^{-1}} - \frac{1}{2}\right] = \left[-\frac{1}{6}\right] = -1$，
$\therefore g(-1) \neq g(1)$，则 $g(x)$ 不是偶函数，故 A 错误；
$\because f(x) = \frac{2^x}{1 + 2^x} - \frac{1}{2}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$f(-x) + f(x) = \frac{2^{-x}}{1 + 2^{-x}} + \frac{2^x}{1 + 2^x} - 1 = \frac{1 + 2^x}{1 + 2^x} - 1 = 0$，$\therefore f(x)$ 是奇函数，故 B 正确；$\because f(x) = \frac{2^x}{1 + 2^x} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{1 + 2^x}$，
又 $y = 2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，$\therefore f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1 + 2^x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数，故 C 正确；$\because 2^x ＞ 0$，$\therefore 1 + 2^x ＞ 1$，则 $0 ＜ \frac{1}{1 + 2^x} ＜ 1$，
可得 $-\frac{1}{2} ＜ \frac{1}{2} - \frac{1}{1 + 2^x} ＜ \frac{1}{2}$，
$\therefore g(x) = [f(x)] \in \{-1,0\}$，故 D 错误。

9. 若对于任意的实数$ x $，不等式$ a + 3^{x}+9^{x}＞0 $恒成立，则实数$ a $的取值范围是$[0,+\infty)$。

答案： 9.$[0,+\infty)$
解析 要使原不等式恒成立，即 $a ＞ -3^x - 9^x$ 恒成立。
因为 $-9^x - 3^x = -(3^x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$，其中 $3^x \in (0,+\infty)$，
所以 $-9^x - 3^x \in (-\infty,0)$。因此 $a \geq 0$。

10. 若函数$ f(x)=2^{x}+\log_{2}x $在$ [1,a] $上的值域为$ [n,m] $，且$ m - n = 16 $，则$ a=$4$ $。

答案： 10.4
解析 易知 $f(x)$ 在 $[1,a]$ 上单调递增，$\therefore f(1) \leq f(x) \leq f(a)$，$\therefore m - n = 2^a + \log_2 a - 2 = 16$，则 $2^a + \log_2 a = 18$，
$\therefore a = 4$。

11. 已知函数$ f(x)=e^{|x - a|} $($ a $为常数)，若$ f(x) $在区间$ (-\infty,1] $上单调递减，则$ a $的取值范围是$[1,+\infty)$。

答案： 11.$[1,+\infty)$
解析 令 $t = |x - a|$，则 $y = e^t$ 为增函数，所以若 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,1]$ 上单调递减，则 $t = |x - a|$ 在区间 $(-\infty,1]$ 上单调递减，又函数 $t = |x - a|$ 在区间 $(-\infty,a]$ 上单调递减，所以 $(-\infty,1] \subseteq (-\infty,a]$，故 $a \geq 1$。

12. 已知$ f(x)=\log_{4}(-ax + 3) $在$ [0,1] $上是关于$ x $的减函数，则实数$ a $的取值范围是$0 ＜ a ＜ 3$。

答案： 12.$0 ＜ a ＜ 3$
解析 因为 $f(x) = \log_4(-ax + 3)$ 在 $[0,1]$ 上是关于 $x$ 的减函数，令 $t = -ax + 3$，而 $y = \log_4 t$ 是增函数，
所以 $t = -ax + 3$ 为 $[0,1]$ 上的减函数，故 $\begin{cases}-a ＜ 0,\\-a × 1 + 3 ＞ 0,\end{cases}$ 解得 $0 ＜ a ＜ 3$。

13. （2025·广东深圳期末）已知函数$ f(x)=\log_{2}(4^{x}-2·2^{x}+3) $。
(1) 求方程$ f(x)=1 $的根；
(2) 求$ f(x) $在$ [0,2] $上的值域。

答案： 13.解
(1)令 $\log_2(4^x - 2 · 2^x + 3) = 1$，则 $4^x - 2 · 2^x + 3 = 0$，
$(2^x - 1)^2 = 0$，所以 $2^x = 1$，解得 $x = 0$。
(2)令 $t = 2^x$，当 $x \in [0,2]$ 时，$t \in [1,4]$，
故 $y = \log_2(t^2 - 2t + 3)$，由于 $h(t) = t^2 - 2t + 3$ 在 $t \in [1,4]$ 上单调递增，故 $h(t) \in [2,11]$，
易知 $y = \log_2(t^2 - 2t + 3)$ 在 $t \in [1,4]$ 上单调递增，故 $y = \log_2(t^2 - 2t + 3) \in [1,\log_2 11]$，即所求值域为 $[1,\log_2 11]$。