《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知命题$p$：$\exists x\geqslant -\dfrac {1}{2}$，$2x + 2 - a = 0$为真命题，求实数$a$的取值范围.

答案： 10.解 p为真命题，即方程2x + 2 - a = 0在$x ≥ -\frac{1}{2}$范围内有实根，故$a = 2x + 2 ≥ 2×(-\frac{1}{2}) + 2 = 1，$故a ≥ 1.

11. 已知不等式$x + 3\geqslant 0$的解集是$A$，则使命题“$\forall a\in M$，$a\notin A$”为真命题的集合$M$是(D)

A.$\{ a\mid a\geqslant -3\}$
B.$\{ a\mid a ＞ -3\}$
C.$\{ a\mid a\leqslant -3\}$
D.$\{ a\mid a ＜ -3\}$

答案： 11.D 因为x + 3 ≥ 0，所以A = {x | x ≥ -3}. 又因为对∀a ∈ M，都有a ∉ A，所以a ＜ -3. 故选D.

12. (2025·广东汕头一中月考)“$m ＞ 2$”是“$\forall x\in \mathbf{R}$，$x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 1 ＞ 0$”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 12.A 若∀x ∈ R，x² + 2(m - 1)x + m² - 1 ＞ 0，则4(m - 1)² - 4(m² - 1) ＜ 0，解得m ＞ 1，因为{m | m ＞ 2} ⊊ {m | m ＞ 1}，所以“m ＞ 2”是“∀x ∈ R，x² + 2(m - 1)x + m² - 1 ＞ 0”的充分不必要条件. 故选A.

13. 已知命题“存在$x\in \{ x\mid 0 ＜ x ＜ 3\}$，使得等式$2x - m = 0$成立”是假命题，则实数$m$的取值范围是(A)

A.$\{ m\mid m\leqslant 0 或 m\geqslant 6\}$
B.$\{ m\mid m ＜ 0 或 m ＞ 6\}$
C.$\{ m\mid m ＜ 0 或 m\geqslant 6\}$
D.$\{ m\mid m\leqslant 0 或 m ＞ 6\}$

答案： 13.A 命题“存在x ∈ {x | 0 ＜ x ＜ 3}，使得等式2x - m = 0成立”是假命题，即命题“存在x ∈ {x | 0 ＜ x ＜ 3}，使得等式$x = \frac{m}{2}$成立”是假命题，所以$\frac{m}{2} ≤ 0$或$\frac{m}{2} ≥ 3，$解得m ≤ 0或m ≥ 6，即实数m的取值范围是{m | m ≤ 0或m ≥ 6}.

14. 已知集合$A = \{ x\mid 2\leqslant x\leqslant 7\}$，$B = \{ x\mid -3m + 4\leqslant x\leqslant 2m - 1\}$，且$B\neq \varnothing$.
(1) 若$p$：$\forall x\in A$，$x\in B$是真命题，求实数$m$的取值范围；
(2) 若$q$：$\exists x\in B$，$x\in A$是真命题，求实数$m$的取值范围.

答案： 14.解
(1)由于p：∀x ∈ A，x ∈ B是真命题，所以A ⊆ B.
而B ≠ ∅，所以$\begin{cases} 2m - 1 ≥ 7, \\ -3m + 4 ≤ 2, \\ -3m + 4 ＜ 2m - 1, \end{cases}$
解得m ≥ 4，故m的取值范围为{m | m ≥ 4}.
(2)因为B ≠ ∅，所以 -3m + 4 ≤ 2m - 1，解得m ≥ 1.
由q为真命题，得A ∩ B ≠ ∅，
当A ∩ B = ∅时，-3m + 4 ＞ 7或2m - 1 ＜ 2，
解得m ＜ -1或$m ＜ \frac{3}{2}.$
因为m ≥ 1，所以当A ∩ B = ∅时，$1 ≤ m ＜ \frac{3}{2}；$
所以当A ∩ B ≠ ∅时，$m ≥ \frac{3}{2}.$
故m的取值范围为$\begin{cases} m $|$ m ≥ \frac{3}{2} \end{cases}.$

15. (2024·辽宁沈阳期中)已知$y_{1} = m(x - 2m)(x + m + 2)$，$y_{2} = x - 1$，若它们同时满足：
① $\forall x\in \mathbf{R}$，$y_{1} ＜ 0$或$y_{2} ＜ 0$；
② $\exists x\in \{ x\mid x ＜ -3\}$，$y_{1}y_{2} ＜ 0$.
则$m$取值范围是-3 ＜ m ＜ -\frac{3}{2}.

答案： $15.-3 ＜ m ＜ -\frac{3}{2}$
解析 由y₂ ＜ 0，得x - 1 ＜ 0，即x ＜ 1，
∀x ∈ R，y₁ ＜ 0或y₂ ＜ 0，则当x ≥ 1时，y₁ ＜ 0恒成立，于是m ＜ 0，
此时m(x - 2m)(x + m + 2) = 0的根为x₁ = 2m，
x₂ = -m - 2，
于是$\begin{cases} 2m ＜ 1, \\ -m - 2 ＜ 1, \end{cases} $解得$ -3 ＜ m ＜ \frac{1}{2}，$又m ＜ 0，
解得 -3 ＜ m ＜ 0，
又∃x ∈ {x | x ＜ -3}，y₁y₂ ＜ 0，显然y₂ ＜ 0，
则∃x ∈ {x | x ＜ -3}，(x - 2m)(x + m + 2) ＜ 0，
显然2m ≠ -m - 2，否则∀x ∈ {x | x ＜ -3}，y₂ ＜ 0，不符合题意.
当2m ＜ -m - 2，即$m ＜ -\frac{2}{3}$时，2m ＜ -3，解得$m ＜ -\frac{3}{2}，$
此时 -m - 2 ＞ -3，符合题意，因此$ -3 ＜ m ＜ -\frac{3}{2}；$
当 -m - 2 ＜ 2m，即m ＞$ -\frac{2}{3}$时，-m - 2 ＜ -3，解得m ＞ 1，
与 -3 ＜ m ＜ 0矛盾，
所以m取值范围是$ -3 ＜ m ＜ -\frac{3}{2}.$