《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知不等式$ x^{2}-(a + 2)x + b\leqslant0 $的解集为$ \{x|1\leqslant x\leqslant2\} $。
(1) 求实数$ a $，$ b $的值；
(2) 解关于$ x $的不等式：$ (x - c)(ax - b)\gt0 $（$ c $为常数，且$ c\neq2 $）。

答案： 10.解
(1)因为不等式$x^{2} - (a + 2)x + b \leq 0$的解集为$\{x|1 \leq x \leq 2\}$，
所以$\begin{cases}1 + 2 = a + 2,\\1 × 2 = b,\end{cases}$所以$a = 1,b = 2$。
(2)将$a = 1,b = 2$代入关于$x$的不等式$(x - c)(ax - b) ＞ 0$，得$(x - c)(x - 2) ＞ 0$，
因为$c$为常数，且$c \neq 2$，
所以当$c ＞ 2$时，解集为$\{x|x ＞ c$或$x ＜ 2\}$；
当$c ＜ 2$时，解集为$\{x|x ＞ 2$或$x ＜ c\}$。

11. (2024·安徽黄山期中)在$ \mathbf{R} $上定义运算“$ \odot $”：$ a\odot b = ab + 2a + b $，则满足$ x\odot(x - 2)\lt0 $的实数$ x $的取值范围为 (B)

A.$ \{x|0\lt x\lt2\} $
B.$ \{x|-2\lt x\lt1\} $
C.$ \{x|x\lt - 2 或 x\gt1\} $
D.$ \{x|-1\lt x\lt2\} $

答案： 11.B 根据给出的定义得，$x \odot (x - 2) = x(x - 2) + 2x + x - 2 = x^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$，又$x \odot (x - 2) ＜ 0$，所以$(x + 2)(x - 1) ＜ 0$，故不等式的解集是$\{x|-2 ＜ x ＜ 1\}$。

12. 设$ [x] $表示不超过$ x $的最大整数，如$ [4.1] = 4 $，$ [-1.1] = -2 $，则不等式$ [x]^{2}-[x]-6\leqslant0 $的解集是 (D)

A.$ \{x|-3\leqslant x\leqslant4\} $
B.$ \{x|-3\leqslant x\lt4\} $
C.$ \{x|-2\leqslant x\leqslant4\} $
D.$ \{x|-2\leqslant x\lt4\} $

答案： 12.D 解关于$[x]$的不等式$[x]^{2} - [x] - 6 \leq 0$，得$-2 \leq [x] \leq 3$，由于$[x]$表示不超过$x$的最大整数，可得$-2 \leq x ＜ 4$。

13. 关于$ x $的不等式$ (mx - 1)(x - 2)\gt0 $，若此不等式的解集为$ \{x|\frac{1}{m}\lt x\lt2\} $，则$ m $的取值范围是$\{m|m ＜ 0\}$。

答案： 13.$\{m|m ＜ 0\}$
解析 由题意知$m ＜ 0$，
$\because$不等式$(mx - 1)(x - 2) ＞ 0$的解集为$\{x|\frac{1}{m} ＜ x ＜ 2\}$
$\therefore$方程$(mx - 1)(x - 2) = 0$的两个实数根为$\frac{1}{m}$和$2$，
且$\begin{cases}m ＜ 0,\frac{1}{m} ＜ 2,\end{cases}$解得$m ＜ 0$，$\therefore m$的取值范围是$\{m|m ＜ 0\}$。

14. 解关于$ x $的不等式：$ x^{2}-(2a + 2)x + 4a\gt0 $。

答案： 14.解 $x^{2} - (2a + 2)x + 4a ＞ 0$可化简为$(x - 2a)(x - 2) ＞ 0$，
可知方程$(x - 2a)(x - 2) = 0$有两解：$x_{1} = 2,x_{2} = 2a$，
当$2a ＞ 2$，即$a ＞ 1$时，不等式的解集为$\{x|x ＜ 2$或$x ＞ 2a\}$；
当$2a = 2$，即$a = 1$时，不等式的解集为$\{x|x \neq 2\}$；
当$2a ＜ 2$，即$a ＜ 1$时，不等式的解集为$\{x|x ＜ 2a$或$x ＞ 2\}$。
综上所述，
当$a ＞ 1$时，不等式的解集为$\{x|x ＜ 2$或$x ＞ 2a\}$；
当$a = 1$时，不等式的解集为$\{x|x \neq 2\}$；
当$a ＜ 1$时，不等式的解集为$\{x|x ＜ 2a$或$x ＞ 2\}$。

15. 设集合$ A = \{x|x\lt-\frac{1}{2} 或 x\gt1\} $，集合$ B = \{x|x^{2}-2ax - 1\leqslant0,a\gt0\} $，若$ A\cap B $中恰有两个整数，则实数$ a $的取值范围是 (B)

A.$ \{a|0\lt a\leqslant\frac{4}{3}\} $
B.$ \{a|\frac{4}{3}\leqslant a\lt\frac{15}{8}\} $
C.$ \{a|\frac{15}{8}\leqslant a\lt2\} $
D.$ \{a|a\gt1\} $

答案： 15.B 由方程$x^{2} - 2ax - 1 = 0(a ＞ 0)$的两根之积为$-1$知，其两根异号。
①若$A \cap B$中恰有两个整数为$2,3$，则有
$\begin{cases}1 + 2a - 1 ＞ 0,\\9 - 6a - 1 \leq 0,\\16 - 8a - 1 ＞ 0,\end{cases}$解得$\frac{4}{3} \leq a ＜ \frac{15}{8}$；
②若$A \cap B$中恰有两个整数为$-1,2$，则有
$\begin{cases}4 + 4a - 1 ＞ 0,\\4 - 4a - 1 \leq 0,\\1 + 2a - 1 \leq 0,\\9 - 6a - 1 ＞ 0,\end{cases}$此时$a$无实数解；
③若$A \cap B$中恰有两个整数为$-1,-2$，则有$\begin{cases}4 - 4a - 1 ＞ 0,\\4 + 4a - 1 \leq 0,\\9 + 6a - 1 ＞ 0,\end{cases}$
又$a ＞ 0$，故此时$a$无实数解。
综上可得$a \in \{\frac{4}{3} \leq a ＜ \frac{15}{8}\}$。故选B。