《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知函数$ y=f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的偶函数，且当$ x\leqslant0 $时，$ f(x)=x^{2}+2x $。现已画出函数$ f(x) $在$ y $轴左侧的图象，如图所示。

(1) 请补全函数$ y=f(x) $的图象；
(2) 根据图象写出函数$ y=f(x) $的单调递增区间；
(3) 根据图象写出使$ f(x)＜0 $的$ x $的取值集合。

答案：
10.解　
(1)由题意补全函数图象如图.

(2)由图可知，单调递增区间为$(-1,0)$，$(1,+\infty)$.
(3)由图可知，使$f(x)＜0$的$x$的取值集合为$(-2,0)\cup(0,2)$.

11. 已知$ f(x) $为$ \mathbf{R} $上的奇函数，$ g(x) $为$ \mathbf{R} $上的偶函数，且$ g(x)\neq0 $，则下列说法正确的是(D)

A.$ f(x)+g(x) $为$ \mathbf{R} $上的奇函数
B.$ f(x)-g(x) $为$ \mathbf{R} $上的奇函数
C.$ \dfrac{f(x)}{g(x)} $为$ \mathbf{R} $上的偶函数
D.$ |f(x)g(x)| $为$ \mathbf{R} $上的偶函数

答案： 11.D　因为$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$g(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$，$x\in\mathbf{R}$，设$F(x)=f(x)+g(x)$，则$F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)\neq -f(x) - g(x)=-F(x)$，故A错误；设$N(x)=f(x)-g(x)$，则$N(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)\neq -f(x)+g(x)=-N(x)$，故B错误；$g(x)\neq0$，令$M(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$，则$M(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=-\frac{f(x)}{g(x)}=-M(x)\neq M(x)$，故C错误；设$H(x)=\vert f(x)g(x)\vert$，则$H(-x)=\vert f(-x)g(-x)\vert=\vert -f(x)g(x)\vert=\vert f(x)g(x)\vert=H(x)$，所以$H(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，故D正确.

12. (2025·河北邯郸期末)已知函数$ f(x)=ax^{3}+bx+2 $在$ [2,3] $上的值域为$ [2,3] $，则$ g(x)=ax^{3}+bx-1 $在$ [-3,-2] $上的值域为(D)

A.$ [-5,-4] $
B.$ [-4,-3] $
C.$ [-3,-2] $
D.$ [-2,-1] $

答案： 12.D　令$h(x)=ax^3 + bx$，则$h(x)=f(x)-2$，因为函数$f(x)=ax^3 + bx + 2$在$[2,3]$上的值域为$[2,3]$，所以$h(x)$在$[2,3]$上的值域为$[0,1]$，
又$h(x)=ax^3 + bx$为奇函数，所以$h(x)$在$[-3,-2]$上的值域为$[-1,0]$，
又$g(x)=ax^3 + bx - 1=h(x)-1$，则$g(x)=ax^3 + bx - 1$在$[-3,-2]$上的值域为$[-2,-1]$.

13. 已知函数$ f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1} $，若$ f(a)=\dfrac{2}{3} $，则$ f(-a)=$$\frac{4}{3}$$ $。

答案： 13.$\frac{4}{3}$
解析　根据题意，$f(x)=\frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}=1+\frac{x}{x^2 + 1}$，而$h(x)=\frac{x}{x^2 + 1}$是奇函数，故$f(a)=h(a)+1=\frac{2}{3}$，所以$h(a)=-\frac{1}{3}$，
故$f(-a)=1 + h(-a)=1 - h(a)=1-(-\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$.

14. 已知定义在$ \mathbf{R} $上的函数$ f(x) $满足$ f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2 $，$ f(0)＜2 $，$ f(0)\neq f(1) $，且$ f(x)＞0 $。
(1) 求$ f(0) $，$ f(1) $，$ f(-1) $的值；
(2) 判断$ f(x) $的奇偶性，并证明。

答案： 14.解　
(1)令$x = y = 0$，得$f(0)=[f(0)]^2 - 2f(0)+2$，
因为$f(0)＜2$，所以$f(0)=1$.
令$x = y = 1$，得$f(1)=[f(1)]^2 - 2f(1)+2$，
因为$f(0)\neq f(1)$，所以$f(1)=2$.
令$x = y = -1$，得$f(1)=[f(-1)]^2 - 2f(-1)+2$，
即$[f(-1)]^2 = 2f(-1)$，
因为$f(x)＞0$，所以$f(-1)＞0$，所以$f(-1)=2$.
(2)$f(x)$为偶函数.
证明如下：令$y = -1$，
得$f(-x)=f(x)f(-1)-f(x)-f(-1)+2$，
由
(1)得$f(-x)=2f(x)-f(x)-2 + 2$，
即$f(-x)=f(x)$，又$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$f(x)$为偶函数.

15. (多选)已知$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的不恒为零的函数，对于任意$ x,y\in\mathbf{R} $都满足$ f(xy)=yf(x)+xf(y) $，则下列说法正确的是(ACD)

A.$ f(0)=0 $
B.$ f(-1)=1 $
C.$ f(x) $是奇函数
D.若$ f(2)=\dfrac{1}{2} $，则$ f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{8} $

答案： 15.ACD　因为$f(xy)=yf(x)+xf(y)$，所以令$x = y = 0$，得$f(0)=0$，故A正确；令$x = y = 1$，得$f(1)=f(1)+f(1)$，所以$f(1)=0$，令$x = y = -1$，得$f(1)=-f(-1)-f(-1)$，所以$f(-1)=0$，故B错误；令$y = -1$，得$f(-x)=-f(x)+xf(-1)$，又$f(-1)=0$，所以$f(-x)=-f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数，故C正确；令$x = 2$，$y=-\frac{1}{2}$，得$f(-1)=-\frac{1}{2}f(2)+2f(-\frac{1}{2})$，又$f(-1)=0$，$f(2)=\frac{1}{2}$，所以$f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{8}$，故D正确.故选ACD.