《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. (1) 计算：$16^{\frac{1}{2}}+\left(\dfrac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{0}$；
(2) 化简（式中字母均为正数）：$\left(2a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{3}}\right)·\left(-3a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}}\right)÷\left(-\dfrac{1}{4}a^{-\frac{1}{4}}b^{-\frac{2}{3}}\right)$.

答案： 10.解
(1)$16^\frac{3}{4}+(\frac{1}{81})^{-\frac{3}{4}}-(-\frac{1}{2})^{-1}=4+(\frac{1}{3})^{-1}-1=4+3-1=6$.
(2)$(2a^\frac{2}{3}b^\frac{1}{3})(-3a^\frac{1}{2}b^\frac{2}{3})÷(-\frac{1}{4}a^\frac{1}{6}b^\frac{5}{3})=24a^\frac{4+1-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=24b$.

11. 已知 $x,y\in\mathbf{R}$，下列等式恒成立的是 (B)

A.$\left(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}\right)^{6}=x - y$
B.$\sqrt[8]{(x^{2}+y^{2})^{8}}=x^{2}+y^{2}$
C.$\sqrt[4]{x^{4}}-\sqrt[4]{y^{4}}=x - y$
D.$\sqrt[10]{(x + y)^{10}}=x + y$

答案： 11.BA项显然不成立；B项，$\because x^2+y^2\geq0,\therefore\sqrt[8]{(x^2+y^2)^8}=|x^2+y^2|=x^2+y^2$，故B项恒成立；C项，$\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=|x|-|y|$，故C项不恒成立；D项，$\sqrt[10]{(x+y)^{10}}=|x+y|$，故D项不恒成立.

12. (2025·江苏徐州一中月考)若 $(1 - 2x)^{-\frac{3}{4}}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是 (D)

A.$\mathbf{R}$
B.$\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
C.$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
D.$\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right)$

答案： 12.D将分数指数幂化为根式，可知需满足$1-2x＞0$，解得$x＜\frac{1}{2}$.故选D.

13. 如果 $45^{x}=3$，$45^{y}=5$，那么 $2x + y=$1.

答案： 13.1
解析 由$45^x=3$，得$(45^x)^2=9$.又$45^y=5$，则$45^{2x}×45^y=9×5=45=45^1$，即$45^{2x+y}=45^1,\therefore2x+y=1$.

14. （2025·江西抚州期中）已知 $a＞0$，$b＞8$，化简：$\dfrac{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}-\dfrac{\sqrt[3]{a^{5}}}{a\sqrt[3]{a}}+\sqrt{4 - 4b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$.

答案： 14.解 因为$a＞0$，所以$\frac{a^\frac{2}{3}-b^\frac{2}{3}}{a^\frac{1}{3}+b^\frac{1}{3}}=\frac{(a^\frac{1}{3})^2-(b^\frac{1}{3})^2}{a^\frac{1}{3}+b^\frac{1}{3}}=\frac{(a^\frac{1}{3}+b^\frac{1}{3})(a^\frac{1}{3}-b^\frac{1}{3})}{a^\frac{1}{3}+b^\frac{1}{3}}=a^\frac{1}{3}-b^\frac{1}{3}$.
$\frac{\sqrt{a^5}}{a\sqrt[3]{a}}=a^\frac{5}{3}a^{-1}a^{-\frac{1}{3}}=a^\frac{5}{3}-1-\frac{1}{3}=a$.
因为$b＞8$，所以$b^\frac{1}{3}＞2$，
所以$\sqrt{4-4b^\frac{2}{3}}+b^\frac{2}{3}=\sqrt{(2-b^\frac{2}{3})^2}=|2-b^\frac{2}{3}|=b^\frac{2}{3}-2$，
所以$\frac{a^\frac{1}{3}-b^\frac{2}{3}}{a^\frac{1}{3}+b^\frac{1}{3}}+\sqrt{4-4b^\frac{2}{3}}+b^\frac{2}{3}=a^\frac{1}{3}-b^\frac{1}{3}-a^\frac{1}{3}+b^\frac{2}{3}-2=-2$.

15. 已知正整数 $a,b,c(a\leq b\leq c)$ 和非零实数 $x,y,z,\omega$，有 $a^{x}=b^{y}=c^{z}=70^{\omega}\neq1$，$\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$，则 $a,b,c$ 的值分别为2,5,7.

答案： 15.2,5,7
解析 因为$a^x=70^y$，且$x,\omega$为非零实数，所以$a^\frac{1}{x\omega}=70^{\frac{1}{x}·\frac{1}{\omega}}=70^\frac{1}{x}·70^\frac{1}{\omega}$.同理，可得$b^\frac{1}{y\omega}=70^\frac{1}{y}·70^\frac{1}{\omega},c^\frac{1}{z\omega}=70^\frac{1}{z}·70^\frac{1}{\omega}$.所以$a^\frac{1}{x\omega}· b^\frac{1}{y\omega}· c^\frac{1}{z\omega}=70^\frac{1}{x}·70^\frac{1}{\omega}·70^\frac{1}{y}·70^\frac{1}{\omega}·70^\frac{1}{z}·70^\frac{1}{\omega}$，即$(abc)^\frac{1}{\omega}=70^\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{\omega}$，又$\frac{1}{\omega}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，$a,b,c$为正整数，所以$abc=70=2×5×7$.因为$a\leq b\leq c$，所以$a=2,b=5,c=7$.