《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵。科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数$ v = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{x}{100} - \lg x_{0} $，单位是$ km/min $，其中$ x $表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，$ x_{0} $表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差。（$ \lg 2\approx0.30, 3^{1.4}\approx4.66 $）
(1) 当$ x_{0} = 2 $，候鸟每分钟的耗氧量为$ 8\ 100 $个单位时，它的飞行速度约是多少？
(2) 若$ x_{0} = 5 $，当候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少个单位？（精确到整数）
(3) 若雄鸟的飞行速度为$ 2.5\ km/min $，雌鸟的飞行速度为$ 1.5\ km/min $，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？

答案： 10.解
(1)将$x_0 = 2$，$x = 8100$代入函数式可得$v=\frac{1}{2}\log_381-\lg2=2-\lg2\approx2 - 0.30=1.70$，故此时鸟的飞行速度约是$1.70\ km/min$.
(2)将$x_0 = 5$，$v = 0$代入函数式可得$0=\frac{1}{2}\log_3\frac{x}{100}-\lg5$，即$\log_3\frac{x}{100}=2\lg5=2×(1 - \lg2)\approx2×0.70=1.40$，所以$\frac{x}{100}=3^{1.4}\approx4.66$，于是$x\approx466$.
(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为$x_1$，雌鸟每分钟的耗氧量为$x_2$，
$2.5=\frac{1}{2}\log_3\frac{x_1}{100}-\lg x_0$，$1.5=\frac{1}{2}\log_3\frac{x_2}{100}-\lg x_0$，
两式相减可得$1=\frac{1}{2}\log_3\frac{x_1}{x_2}$，于是$\frac{x_1}{x_2}=9$.
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的$9$倍.

11. 设函数$ f(u)=\log_{2}u $的定义域为$ (0,1) $，则函数$ f(e^{x}) $的定义域为 (D)

A.$ (0,1) $
B.$ (-1,0) $
C.$ (0, +\infty) $
D.$ (-\infty, 0) $

答案： 11.D 函数$f(u)$的定义域为$(0,1)$，即$u\in(0,1)$，所以$0＜e^x＜1$，解得$x\in(-\infty,0)$，故函数$f(e^x)$的定义域为$(-\infty,0)$.

12. (2024·辽宁沈阳期中)设函数$ f(x) = f(\frac{1}{x})\lg x + 1 $，则$ f(10) $的值是 (A)

A.1
B.-1
C.10
D.$ \frac{1}{10} $

答案： 12.A $\because f(x)=f(\frac{1}{x})\lg x + 1$，将式中的$x$换成$\frac{1}{x}$，$\therefore f(\frac{1}{x})=f(x)\lg\frac{1}{x}+1=-f(x)\lg x + 1$.
由以上两式，得$f(x)=\frac{1+\lg x}{1+(\lg x)^2}$，$\therefore f(10)=\frac{1+\lg10}{1+(\lg10)^2}=1$.

13. 给定函数$ y = f(x) $，设集合$ A = \{x\mid y = f(x)\} $，$ B = \{y\mid y = f(x)\} $。若$ \forall x\in A $，$ \exists y\in B $，使得$ x + y = 0 $成立，则称函数$ f(x) $具有性质$ P $。给出下列三个函数：①$ y = \frac{1}{x} $；②$ y = (\frac{1}{2})^{x} $；③$ y = \lg x $。其中，具有性质$ P $的函数是①③(填序号)。

答案： 13.①③
解析 对于①，$A=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$B=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，显然$\forall x\in A$，$\exists y\in B$，使得$x + y = 0$成立，即具有性质P；对于②，$A=\mathbf{R}$，$B=(0,+\infty)$，当$x＞0$时，不存在$y\in B$，使得$x + y = 0$成立，即不具有性质P；对于③，$A=(0,+\infty)$，$B=\mathbf{R}$，显然$\forall x\in A$，$\exists y\in B$，使得$x + y = 0$成立，即具有性质P.故具有性质P的函数是①③.

14. 已知函数$ f(x)=\log_{a}(3 - ax)(a\gt0, 且 a\neq1) $。当$ x\in[0,2] $时，函数$ f(x) $恒有意义，求实数$ a $的取值范围。

答案： 14.解 设$t(x)=3 - ax$，$\because a＞0$，且$a\neq1$，$\therefore t(x)=3 - ax$为减函数，则当$x\in[0,2]$时，$t(x)$的最小值为$3 - 2a$.$\because$当$x\in[0,2]$时，$f(x)$恒有意义，即当$x\in[0,2]$时，$3 - ax＞0$恒成立.$\therefore 3 - 2a＞0$，$\therefore a＜\frac{3}{2}$.
又$a＞0$且$a\neq1$，$\therefore0＜a＜1$或$1＜a＜\frac{3}{2}$
$\therefore$实数$a$的取值范围为$(0,1)\cup(1,\frac{3}{2})$.

15. 星等分为两种：目视星等与绝对星等。但它们之间可用公式$ M = m + 5 - 5\lg\frac{d}{3.26} $转换，其中$ M $为绝对星等，$ m $为目视星等，$ d $为星球到地球的距离(单位：光年)。现在在地球某处测得牛郎星目视星等为$ 0.77 $，绝对星等为$ 2.19 $；织女星目视星等为$ 0.03 $，绝对星等为$ 0.5 $。则距离地球更近的星球和它们到地球的距离之比(较远距离与较近距离之比)分别是(参考数据：$ 10^{0.19}\approx1.549, 10^{0.906}\approx8.054, 10^{0.716}\approx5.200 $) (A)

A.牛郎星，约1.5
B.织女星，约1.5
C.牛郎星，约2.9
D.织女星，约2.9

答案： 15.A 设牛郎星到地球的距离为$d_1$，织女星到地球的距离为$d_2$，所以$2.19=0.77 + 5 - 5\lg\frac{d_1}{3.26}$，$0.5=0.03 + 5 - 5\lg\frac{d_2}{3.26}$，即$0.77 + 5 - 2.19=5\lg\frac{d_1}{3.26}$，$0.03 + 5 - 0.5=5\lg\frac{d_2}{3.26}$，即$\lg\frac{d_1}{3.26}=0.716$，$\lg\frac{d_2}{3.26}=0.906$，所以$\frac{d_1}{3.26}=10^{0.716}\approx5.200$，$\frac{d_2}{3.26}=10^{0.906}\approx8.054$，所以$d_2＞d_1$，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且$\frac{d_2}{d_1}=\frac{3.26×10^{0.906}}{3.26×10^{0.716}}=\frac{10^{0.906}}{10^{0.716}}=10^{0.19}\approx1.5$.故选A.