《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合$ A = \{ x | x^2 ＜ 2 \} $，$ B = \{ y | y = 2^{|x|} \} $，则$ A \cap B = $(C)

A.$\varnothing$
B.$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$
C.$[1, \sqrt{2})$
D.$(-\sqrt{2}, 1]$

答案： 1.C　由$x^{2}＜2$得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$，故$A=\{x\mid x^{2}＜2\}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})$，又$B=\{y\mid y=2^{\mid x\mid}\}=[1,+\infty)$，所以$A\cap B=[1,\sqrt{2})$，故选C.

2. 函数$ y = 2^{x + 1} $的图象是(A)

答案： 2.A　因为函数$y=2^{x + 1}$的图象是由函数$y=2^{x}$的图象向左平移1个单位长度得到的，而$y=2^{x}$的图象过点$(1,2)$，且在$\mathbf{R}$上是增函数，所以$y=2^{x + 1}$的图象过点$(0,2)$，且在$\mathbf{R}$上是增函数，故选A.

3. (2024·湖北武汉期中)函数$ f(x) = \frac{\sqrt{2^x - 4}}{x - 5} $的定义域为(D)

A.$(-\infty, 2]$
B.$(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$
C.$[2, +\infty)$
D.$[2, 5) \cup (5, +\infty)$

答案： 3.D　函数$f(x)=\frac{\sqrt{2^{x}-4}}{x - 5}$的定义域需满足$\begin{cases}2^{x}-4\geqslant0,\\x - 5\neq0,\end{cases}$解得$x\geqslant2$且$x\neq5$.

4. 要得到函数$ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{2x} $的图象，只需将函数$ y = 4^{1 - x} $的图象(A)

A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度
D.向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度

答案： 4.A　因为$y=(\frac{1}{2})^{2x}=(2^{-2})^{x}=4^{-x}=4^{1-(x + 1)}$，所以只需将函数$y=4^{1-x}$的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数$y=(\frac{1}{2})^{2x}$的图象.故选A.

5. 函数$ f(x) = \frac{x · 2^x}{|x|} $的图象大致为(B)

答案： 5.B　易知$f(x)=\frac{x·2^{x}}{\mid x\mid}=\begin{cases}2^{x},x＞0,\\-2^{x},x＜0.\end{cases}\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,0)$上单调递减，故选B.

6. (多选)指数函数①$ f(x) = a^x $；②$ g(x) = b^x $，且满足$ a ＞ b ＞ 0 $，则它们的图象可能为(AD)

答案：
6.AD　由指数函数图象和性质知，$a＞b＞1$时A图象符合；$1＞a＞b＞0$时，D图象符合；$a＞1＞b＞0$时，图象如图所示.
　　　　　　　

7. 已知函数$ y = a^{x - m} + 2 $的图象过定点$ (2, 3) $，则实数$ m = $2.

答案： 7.2
　解析　由$\begin{cases}2 - m = 0,\\a^{2 - m}+2 = 3,\end{cases}$得$m = 2$.

8. 若函数$ f(x) = \begin{cases}2^x, & x ＜ 0, \\ -2^{-x}, & x ＞ 0,\end{cases}$则函数$ f(x) $的值域是 ______ .

答案： 8.$(-1,0)\cup(0,1)$
　解析　由$x＜0$，得$0＜2^{x}＜1$；当$x＞0$时，$-x＜0$，$0＜2^{-x}＜1$，$\therefore -1＜-2^{-x}＜0$，$\therefore$函数$f(x)$的值域为$(-1,0)\cup(0,1)$.

9. 已知函数$ f(x) = a^{x - 1} (x \geq 0) $的图象经过点$ (2, \frac{1}{2}) $，其中$ a ＞ 0 $，且$ a \neq 1 $。
（1）求$ a $的值；
（2）求函数$ y = f(x) + 1 (x \geq 0) $的值域。

答案： 9.解　
(1)因为函数$f(x)=a^{x - 1}(x\geqslant0)$的图象经过点$(2,\frac{1}{2})$，所以$a^{2 - 1}=a=\frac{1}{2}$.
(2)由
(1)得$f(x)=(\frac{1}{2})^{x - 1}(x\geqslant0)$，故函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$内是减函数，当$x = 0$时，函数$f(x)$取最大值2，故$f(x)\in(0,2]$.
　所以$f(x)+1\in(1,3]$，所以函数$y = f(x)+1(x\geqslant0)$的值域为$(1,3]$.