《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 判断下列函数的奇偶性。
（1）$ f(x) = \lg(\sin x + \sqrt{1 + \sin^2 x}) $；
（2）$ f(x) = \sin(\frac{3x}{4} + \frac{3\pi}{2}) $。

答案： 10.解
(1)$\because 1 + \sin ^2 x ＞ \sin ^2 x$，
$\therefore \sqrt {1 + \sin ^2 x} ＞ | \sin x | \geq - \sin x$，
$\therefore \sin x + \sqrt {1 + \sin ^2 x} ＞ 0$，$\therefore$函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$.
$\because f(x) = \lg ( \sin x + \sqrt {1 + \sin ^2 x} )$，
$\therefore f(-x) = \lg [ \sin (-x) + \sqrt {1 + \sin ^2 (-x)} ]$
$= \lg ( - \sin x + \sqrt {1 + \sin ^2 x} )$，
$\therefore f(x) + f(-x) = \lg ( \sin x + \sqrt {1 + \sin ^2 x} ) + \lg ( - \sin x + \sqrt {1 + \sin ^2 x} ) = \lg ( 1 + \sin ^2 x - \sin ^2 x ) = \lg 1 = 0$，
$\therefore f(x) + f(-x) = 0$，$\therefore f(x) = \lg ( \sin x + \sqrt {1 + \sin ^2 x} )$为奇函数.
(2)$\because f(x) = \sin ( \frac {3x} {4} + \frac {3\pi} {2} )$，$\therefore f(x) = - \cos \frac {3x} {4}$，且函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$.
又$\because f(-x) = - \cos ( - \frac {3x} {4} ) = - \cos \frac {3x} {4}$，
$\therefore f(-x) = f(x)$，
$\therefore$函数$f(x) = \sin ( \frac {3x} {4} + \frac {3\pi} {2} )$是偶函数.

11. 函数$ f(x) = \frac{\sin x + x}{\cos x + x^2} $在$ [-\pi, \pi] $上的图象大致为 (D)

答案： 11.D 定义域关于原点对称，
$\because f(-x) = \frac {\sin (-x) + (-x)} {\cos (-x) + (-x)^2} = \frac {\sin x + x} {\cos x + x^2} = - f(x)$，
$\therefore f(x)$在$[ - \pi, \pi ]$上为奇函数，故排除A；当$x = \frac {\pi} {2}$时，
$f ( \frac {\pi} {2} ) = \frac {1 + \frac {\pi} {2}} {\frac {\pi^2} {4}} = \frac {4 + 2\pi} {\pi^2} ＞ 1$，故排除B、C，故选D.

12. (2025·山东淄博期中)若函数$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $，且函数$ f(x) + \sin x $是偶函数，函数$ f(x) + \cos x $是奇函数，则$ f(\frac{\pi}{3}) = $ (A)

A.$ -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} $
B.$ \frac{1 - \sqrt{3}}{2} $
C.$ \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} $
D.$ \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $

答案： 12.A $\because$函数$f(x) + \sin x$为偶函数，
$\therefore f ( - \frac {\pi} {3} ) + \sin ( - \frac {\pi} {3} ) = f ( \frac {\pi} {3} ) + \sin \frac {\pi} {3}$，
即$f ( - \frac {\pi} {3} ) - \frac {\sqrt {3}} {2} = f ( \frac {\pi} {3} ) + \frac {\sqrt {3}} {2}$ ①.
$\because$函数$f(x) + \cos x$为奇函数，
$\therefore f ( - \frac {\pi} {3} ) + \cos ( - \frac {\pi} {3} ) = - f ( \frac {\pi} {3} ) - \cos \frac {\pi} {3}$，
即$f ( - \frac {\pi} {3} ) + \frac {1} {2} = - f ( \frac {\pi} {3} ) - \frac {1} {2}$ ②.
由①−②得$- \frac {\sqrt {3} + 1} {2} = 2f ( \frac {\pi} {3} ) + \frac {\sqrt {3} + 1} {2}$，
$\therefore f ( \frac {\pi} {3} ) = - \frac {1 + \sqrt {3}} {2}$.故选A.

13. (2024·河南商丘期末)已知函数$ f(x) = \cos \frac{\pi}{3}x $，则$ f(1) + f(2) + \dots + f(2025) = $−1.

答案： 13.−1
解析 $f(x) = \cos \frac {\pi} {3} x$的最小正周期$T = \frac {2\pi} {\frac {\pi} {3}} = 6$.
又$f(1) = \cos \frac {\pi} {3} = \frac {1} {2}$，$f(2) = - \frac {1} {2}$，$f(3) = - 1$，$f(4) = - \frac {1} {2}$，$f(5) = \frac {1} {2}$，$f(6) = 1$，所以$f(1) + f(2) + ·s + f(6) = 0$.又$2025 = 337 × 6 + 3$，所以$f(1) + f(2) + ·s + f(2025) = 337 × 0 + f(1) + f(2) + f(3) = - 1$.

14. 已知函数$ y = f(x) = |\sin x| + |\cos x| $，试根据下列要求研究函数$ f(x) $的性质。
（1）求证：函数$ f(x) $是偶函数；
（2）求证：$ \frac{\pi}{2} $是函数$ f(x) $的一个周期。

答案： 14.证明
(1)函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，
$f(-x) = | \sin (-x) | + | \cos (-x) | = | \sin x | + | \cos x | = f(x)$，
所以函数$f(x)$是偶函数.
(2)$f ( x + \frac {\pi} {2} ) = | \sin ( x + \frac {\pi} {2} ) | + | \cos ( x + \frac {\pi} {2} ) | = | \cos x | + | \sin x | = f(x)$，
所以$f(x)$是周期函数，$\frac {\pi} {2}$是它的一个周期.

15. 已知函数$ f(x) = \sin \omega x $在$ [0, \frac{3\pi}{4}] $上恰有4个零点，则正整数$ \omega $的值为 (C)

A.2或3
B.3或4
C.4或5
D.5或6

答案： 15.C 因为函数$f(x) = \sin \omega x$在$[ 0, \frac {3\pi} {4} ]$上恰有4个零点且$f(x)$的图象过原点，设$f(x)$的最小正周期为$T$，所以$\frac {3} {2} T \leq \frac {3\pi} {4} ＜ 2T$，又$T = \frac {2\pi} {\omega}$，所以$\frac {3} {2} · \frac {2\pi} {\omega} \leq \frac {3\pi} {4} ＜ 2 · \frac {2\pi} {\omega}$，解得$4 \leq \omega ＜ \frac {16} {3}$，所以正整数$\omega$的值为4或5.