《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的(A)

A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.既充分又必要条件

答案： 1.A　这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件，故选A.

2.(多选)(2025·河北石家庄期末)使$x ＞ 1$成立的一个必要条件可以是(AB)

A.$x ＞ 0$
B.$x ＞ -1$
C.$x ＞ 2$
D.$x ＜ -2$

答案： 2.AB　$x ＞ 1 \Rightarrow x ＞ 0$，$x ＞ 1 \Rightarrow x ＞ - 1$，其他选项均不可由$x ＞ 1$推出.

3. 已知集合$A = \{3, m\}$，$B = \{1, 3, 5\}$，则“$m = 1$”是“$A \subseteq B$”的(A)

A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件

答案： 3.A　若$A \subseteq B$，则有$m \in B$且$m \neq 3$，所以$m = 1$或$m = 5$，故当$m = 1$时，有$A \subseteq B$，而当$A \subseteq B$时，不一定有$m = 1$，故“$m = 1$”是“$A \subseteq B$”的充分条件.

4.(2025·山西长治期末)设$x, y \in \mathbf{R}$，则“$x \geq 4$且$y \geq 4$”是“$x^2 + y^2 \geq 8$”的(A)

A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件

答案： 4.A　由$x \geq 4$且$y \geq 4$可以推出$x^2 + y^2 \geq 8$，$x = 1$且$y = 3$满足$x^2 + y^2 \geq 8$但不满足$x \geq 4$且$y \geq 4$.故选A.

5. 下列说法正确的是(D)

A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当$a ＞ 4$时，方程$x^2 - 4x + a = 0$有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“当$x = 2$时，$x^2 - 3x + 2 = 0$”是真命题

答案： 5.D　命题“直角相等”写成“若$p$，则$q$”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当$a ＞ 4$时，方程$x^2 - 4x + a = 0$有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；真命题应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以选项C错误；易知选项D正确.

6. 已知有$A, B, C, D$四个命题，其中$A$为$B$的必要条件，$B$为$C$的充分条件，$C$为$D$的必要条件，$D$为$A$的必要条件。若增加条件使得$A, B, C, D$中的任意一个命题均为$A, B, C, D$四个命题的必要条件，则这个条件可以为(A)

A.$B$为$C$的必要条件
B.$B$为$A$的必要条件
C.$C$为$D$的充分条件
D.$B$为$D$的必要条件

答案： 6.A　因为$A$为$B$的必要条件，$B$为$C$的充分条件，$C$为$D$的必要条件，$D$为$A$的必要条件，所以$A \Leftarrow B$，$B \Rightarrow C$，$C \Leftarrow D$，$D \Leftarrow A$，即$A \Leftarrow B \Rightarrow C \Leftarrow D \Leftarrow A$.
　对于A，若$B$为$C$的必要条件，即$B \Leftarrow C$，则$A \Leftarrow B \Leftrightarrow C \Leftarrow D \Leftarrow A$，所以$A$，$B$，$C$，$D$互为充要条件，则$A$，$B$，$C$，$D$中的任意一个命题均为$A$，$B$，$C$，$D$四个命题的必要条件，故A正确；对于B，若$B$为$A$的必要条件，即$B \Leftarrow A$，则$A \Leftrightarrow B \Rightarrow C \Leftarrow D \Leftarrow A$，易得$B$不是$C$的必要条件，故B错误；
　对于C，若$C$为$D$的充分条件，即$C \Rightarrow D$，则$A \Leftarrow B \Rightarrow C \Leftrightarrow D \Leftarrow A$，易得$B$不是$C$的必要条件，故C错误；
　对于D，若$B$为$D$的必要条件，即$B \Leftarrow D$，则$A \Leftarrow B \Rightarrow C \Leftarrow D \Leftarrow A$且$B \Leftarrow D$，易得$B$不是$C$的必要条件，故D错误.故选A.

7. “$x ＞ y$”是“$\sqrt{x} ＞ \sqrt{y}$”的必要条件。

答案： 7.必要
　解析　取$x = - 1$，$y = - 2$，满足$x ＞ y$，但$\sqrt{x}$与$\sqrt{y}$无意义，所以$x ＞ y \nRightarrow \sqrt{x} ＞ \sqrt{y}$，而$\sqrt{x} ＞ \sqrt{y} \Rightarrow x ＞ y$.故“$x ＞ y$”是“$\sqrt{x} ＞ \sqrt{y}$”的必要条件.

8. 设命题$p: k ＞ 5, b ＜ 5$，命题$q$：一次函数$y = (k - 4)x + b - 5$的图象交$y$轴于负半轴，交$x$轴于正半轴，则$p$是$q$的充分条件；$q$是$p$的必要条件。(用“充分”或“必要”填空)

答案：
8.充分　必要
　解析　当$k ＞ 5$，$b ＜ 5$时，函数$y = ( k - 4 ) x + b - 5$的图象如图所示，此时一次函数$y = ( k - 4 ) x + b - 5$的图象交$y$轴于负半轴，交$x$轴于正半轴，所以$p$是$q$的充分条件，$q$是$p$的必要条件.

9. 试分别指出下列各题中$p$是$q$的什么条件。
（1）$p$：两个三角形相似，$q$：两个三角形全等；
（2）$p$：一个四边形是矩形，$q$：四边形的对角线相等；
（3）$p$：$A \subseteq B$，$q$：$A \cap B = A$；
（4）$p$：$a ＞ b$，$q$：$ac ＞ bc$。

答案： 9.解　
(1)
∵两个三角形相似⇒两个三角形全等，但两个三角形全等⇏两个三角形相似，
∴$p$是$q$的必要条件.
(2)
∵矩形的对角线相等，
∴$p \Rightarrow q$，而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴$q \nRightarrow p$.
∴$p$是$q$的充分条件.
(3)
∵$p \Rightarrow q$且$q \Rightarrow p$，
∴$p$既是$q$的充分条件，又是$q$的必要条件.
(4)
∵$p \nRightarrow q$，且$q \nRightarrow p$，
∴$p$既不是$q$的充分条件，也不是$q$的必要条件.