《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 证明不等式：
（1）若$a,b,c$是非负实数，则$a(b^{2}+c^{2})+$
$b(c^{2}+a^{2})+c(a^{2}+b^{2})\geqslant6abc$；
（2）若$a,b$是非负实数，则$a + b + 2\geqslant2(\sqrt{a}+$
$\sqrt{b})$。

答案： 10.证明
(1)由$a$，$b$，$c$是非负实数，利用基本不等式可知，
$b^{2} + c^{2} \geqslant 2bc$，当且仅当$b = c$时，等号成立；
$c^{2} + a^{2} \geqslant 2ac$，当且仅当$a = c$时，等号成立；
$a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab$，当且仅当$a = b$时，等号成立，
所以$a(b^{2} + c^{2}) + b(c^{2} + a^{2}) + c(a^{2} + b^{2}) \geqslant a · 2bc + b ·2ca + c · 2ab = 6abc$，当且仅当$a = b = c$时，等号成立.
(2)$a + b + 2 = (a + 1) + (b + 1) \geqslant 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} =2(\sqrt{a} + \sqrt{b})$，当且仅当$a = b = 1$时，等号成立.

11. (2024·湖北黄石期中)已知正数$a,b$满足
$ab = 10$，则$\frac{1}{a + 2b}$的最大值是 (A)

A.$\frac{\sqrt{5}}{20}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{15}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{50}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{20}$

答案： 11.A 因为正数$a$，$b$满足$ab = 10$，所以$\frac{1}{a + 2b} \leqslant \frac{1}{2\sqrt{a × 2b}} =\frac{1}{2\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{5}}{20}$，当且仅当$a = 2b = 2\sqrt{5}$时，等号成立.

12. 南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即
已知三角形三边长求三角形面积的公式：设
三角形的三条边长分别为$a,b,c$，则面积$S$
可由公式$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$求
得，其中$p$为三角形周长的一半，这个公式也
被称为海伦—秦九韶公式。现有一个三角形
的三边长满足$a = 6,b + c = 8$，则此三角形面积
的最大值为 (C)

A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$3\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{7}$

答案： 12.C 因为$a = 6$，$b + c = 8$，所以$p = \frac{a + b + c}{2} = 7$，又由三角形边
长关系可得$1 ＜ b ＜ 7$，$1 ＜ c ＜ 7$，所以$S = \sqrt{7(7 - b)(7 - c)} \leqslant\sqrt{7} × \frac{(7 - b) + (7 - c)}{2} = \sqrt{7} × \frac{14 - (b + c)}{2} = 3\sqrt{7}$，当且仅当
$7 - b = 7 - c$，即$b = c = 4$时等号成立，所以三角形面积的最
大值为$3\sqrt{7}$.

13. 已知$a\gt b\gt c$，则$\sqrt{(a - b)(b - c)}$与$\frac{a - c}{2}$的大
小关系是$\sqrt{(a - b)(b - c)} \leqslant \frac{a - c}{2}$。

答案： 13.$\sqrt{(a - b)(b - c)} \leqslant \frac{a - c}{2}$
解析 $\because a ＞ b ＞ c$，$\therefore a - b ＞ 0$，$b - c ＞ 0$，
$\therefore \frac{a - c}{2} = \frac{(a - b) + (b - c)}{2} \geqslant \sqrt{(a - b)(b - c)}$，
当且仅当$a - b = b - c$，即$2b = a + c$时取等号.

14. 已知$a\gt b\gt c$，你能比较出$4$与$\left(\frac{1}{a - b}+\right.$
$\left.\frac{1}{b - c}\right)(a - c)$的大小吗？说明理由。

答案： 14.解 $(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c})(a - c) \geqslant 4$，理由如下：
因为$a - c = (a - b) + (b - c)$，
所以$(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c})[(a - b) + (b - c)] = 2 + \frac{b - c}{a - b} + \frac{a - b}{b - c}$，
又$a ＞ b ＞ c$，所以$a - b ＞ 0$，$b - c ＞ 0$，
所以$\frac{b - c}{a - b} + \frac{a - b}{b - c} \geqslant 2$，当且仅当$\frac{b - c}{a - b} = \frac{a - b}{b - c}$时，取“$=$”，
则$2 + \frac{b - c}{a - b} + \frac{a - b}{b - c} \geqslant 4$.
故$(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c})(a - c) \geqslant 4$.

15. (2025·湖南长沙期末)设自变量$x$对应的因
变量为$y$，在满足对任意的$x$，不等式$y\leqslant M$
都成立的所有常数$M$中，将$M$的最小值叫做
$y$的上确界。若$a,b$为正实数，且$a + b = 1$，
则$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上确界为 (A)

A.$-\frac{9}{2}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-4$

答案： 15.A 因为$a$，$b$为正实数，且$a + b = 1$，
所以$\frac{1}{2a} + \frac{2}{b} = (\frac{1}{2a} + \frac{2}{b}) × (a + b)$
$ = \frac{5}{2} + (\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b}) \geqslant \frac{5}{2} + 2\sqrt{\frac{b}{2a} × \frac{2a}{b}} = \frac{9}{2}$，
当且仅当$b = 2a$，即$a = \frac{1}{3}$，$b = \frac{2}{3}$时，等号成立，
因此有$\frac{1}{2a} - \frac{2}{b} \leqslant \frac{9}{2}$，
故$\frac{1}{2a} - \frac{2}{b}$的上确界为$\frac{9}{2}$.