《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 求证：一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象过原点的充要条件是$b = 0$。

答案： 10.证明　①充分性：如果$b = 0$，那么$y = kx$，当$x = 0$时，$y = 0$，函数图象过原点。
②必要性：因为$y = kx + b(k\neq0)$的图象过原点，所以当$x = 0$时，$y = 0$，得$0 = k·0 + b$，所以$b = 0$。
综上，一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象过原点的充要条件是$b = 0$。

11. $\alpha$：“$x\neq2$或$y\neq3$”是$\beta$：“$x + y\neq5$”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 11.B　当$x\neq2$或$y\neq3$时，如$x = 1$，$y = 4$，则$x + y = 5$，即$x + y\neq5$不成立，故$\alpha$不是$\beta$的充分条件；当$x + y\neq5$时，可以推出$x\neq2$或$y\neq3$，故$\alpha$是$\beta$的必要条件，故$\alpha$是$\beta$的必要不充分条件。

12. 已知$U$为全集，集合$A$，$B$为$U$的两个子集，则“$A\subseteq\complement_{U}B$”的充要条件是(A)

A.$B\subseteq\complement_{U}A$
B.$A\subseteq B$
C.$B\subseteq A$
D.$\complement_{U}A\subseteq B$

答案：
12.A　因为$A\subseteq\complement_{U}B$，所以A，B关系如图，

由图可知B、C、D选项错误，$B\subseteq\complement_{U}A$，A正确。

13. (知识交汇)关于如图所示电路图的说法正确的是(1)(2)(3)(填序号)。

(1)如图①所示，开关$A$闭合是灯泡$B$亮的充分不必要条件；
(2)如图②所示，开关$A$闭合是灯泡$B$亮的必要不充分条件；
(3)如图③所示，开关$A$闭合是灯泡$B$亮的充要条件；
(4)如图④所示，开关$A$闭合是灯泡$B$亮的必要不充分条件。

答案： 13.
(1)
(2)
(3)
解析　
(1)开关A闭合，则灯泡B亮。当灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故
(1)正确。
(2)开关A闭合，灯泡B不一定亮。而灯泡B亮时，开关A一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故
(2)正确。
(3)开关A闭合，则灯泡B亮。而灯泡B亮时，开关A一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故
(3)正确。
(4)开关A闭合，灯泡B不一定亮。而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故
(4)错误。

14. 求关于$x$的方程$m^{2}x^{2}-(m + 1)x + 2 = 0$的实数根的总和为$2$的充要条件。

答案： 14.解　当$m = 0$时，原方程即为$x = 2$，满足题意；
当$m\neq0$时，有$\frac{m + 1}{m^{2}}=2$，解得$m = 1$或$m =-\frac{1}{2}$，但$\Delta=(m + 1)^{2}-8m^{2}$，当$m = 1$及$m =-\frac{1}{2}$时，均使$\Delta＜0$，不满足题意。
故所求充要条件是$m = 0$。

15. (多选)(2024·辽宁辽阳期中)“集合$A = \{(x,y)|x^{2}+2y^{2}\lt a,x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N}\}$只有$3$个真子集”的一个充分不必要条件可以是(ABD)

A.$1\lt a\lt\frac{3}{2}$
B.$\frac{7}{4}\lt a\leq2$
C.$2\leq a\lt3$
D.$\frac{3}{2}\lt a\lt\frac{7}{4}$

答案： 15.ABD　集合$A=\{(x,y)|x^{2}+2y^{2}＜a,x\in N,y\in N\}$只有3个真子集，故集合A中只有2个元素。因为$x\in N,y\in N$，所以当$x = 0$，$y = 0$时，$x^{2}+2y^{2}=0$；当$x = 1$，$y = 0$时，$x^{2}+2y^{2}=1$；当$x = 0$，$y = 1$时，$x^{2}+2y^{2}=2$，故$a$的取值范围为$\{a|1 ＜ a\leq2\}$。由$\{a|1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}\}\subsetneqq\{a|1 ＜ a\leq2\}$，$\{a|\frac{7}{4}＜a\leq2\}\subsetneqq\{a|1 ＜ a\leq2\}$，$\{a|\frac{3}{2}＜a＜\frac{7}{4}\}\subsetneqq\{a|1 ＜ a\leq2\}$，知A、B、D正确。因为$\{a|1 ＜ a\leq2\}$与$\{a|2\leq a ＜ 3\}$之间没有包含关系，故C错误。