《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 平面直角坐标系中，角$\alpha$的终边经过点$P(1, \sqrt{3})$，则$\sin(\pi - \alpha) =$（C）

A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 1.C 平面直角坐标系中，角$\alpha$的终边经过点$P(1,\sqrt{3})$，则$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2. 若$\sin(\pi + \alpha) + \sin(-\alpha) = -m$，则$\sin(3\pi + \alpha) + 2\sin(2\pi - \alpha) =$（B）

A.$-\frac{2}{3}m$
B.$-\frac{3}{2}m$
C.$\frac{2}{3}m$
D.$\frac{3}{2}m$

答案： 2.B 因为$\sin(\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)=-2\sin\alpha=-m$，所以$\sin\alpha=\frac{m}{2}$，则$\sin(3\pi+\alpha)+2\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha-2\sin\alpha=-3\sin\alpha=-\frac{3}{2}m$。故选B。

3. $\sin 315^{\circ} + \sin(-480^{\circ}) + \cos(-330^{\circ}) =$（C）

A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 3.C 原式$=\sin(360^{\circ}-45^{\circ})+\sin(-360^{\circ}-120^{\circ})+\cos(-360^{\circ}+30^{\circ})=\sin(-45^{\circ})+\sin(-120^{\circ})+\cos30^{\circ}=-\sin45^{\circ}-\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。故选C。

4. 已知在平面直角坐标系中，点$M(2, 4)$在角$\alpha$的终边上，则$\frac{\sin^{3}(\pi - \alpha) + \cos^{3}(-\alpha)}{\sin^{3}\alpha - 2\cos^{3}\alpha} =$(B)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$-\frac{5}{3}$

答案： 4.B 由题意可得$\tan\alpha=2$，所以原式$=\frac{\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha}{\sin^{3}\alpha-2\cos^{3}\alpha}=\frac{\tan^{3}\alpha+1}{\tan^{3}\alpha-2}=\frac{3}{2}$。

5. (多选)在平面直角坐标系中，若角$\alpha$的顶点在原点，始边在$x$轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中小于零的是(ACD)

A.$\sin(-\alpha)$
B.$\tan(\pi - \alpha)$
C.$\sin(\pi + \alpha)$
D.$-\cos(\pi - \alpha)$

答案： 5.ACD 由诱导公式有$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，又$\alpha$为第二象限角，所以$\sin\alpha＞0$，所以$\sin(-\alpha)＜0$；由诱导公式有$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$，又$\alpha$为第二象限角，所以$\tan\alpha＜0$，所以$\tan(\pi-\alpha)＞0$；由诱导公式有$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$，又$\alpha$为第二象限角，所以$\sin\alpha＞0$，所以$\sin(\pi+\alpha)＜0$；由诱导公式有$-\cos(\pi-\alpha)=\cos\alpha$，又$\alpha$为第二象限角，所以$\cos\alpha＜0$，所以$-\cos(\pi-\alpha)＜0$。

6. (多选)(2024·山东济宁期末)已知$k \in \mathbf{Z}$，则下列各式中，与$\cos\frac{\pi}{6}$数值相同的是(BCD)

A.$\cos\left(k\pi + \frac{\pi}{6}\right)$
B.$\cos\left(2k\pi + \frac{\pi}{6}\right)$
C.$\sin\left(2k\pi + \frac{\pi}{3}\right)$
D.$\sin\left[(2k + 1)\pi - \frac{\pi}{3}\right]$

答案： 6.BCD 当$k$为奇数时，$\cos(k\pi+\frac{\pi}{6})=-\cos\frac{\pi}{6}$，故A错误；$\cos(2k\pi+\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{6}$，故B正确；$\sin(2k\pi+\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}$，故C正确；$\sin[(2k+1)\pi-\frac{\pi}{3}]=\sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}$，故D正确。

7. (2024·福建福州期末)求值：$\cos\frac{25\pi}{3} + \tan\left(-\frac{15\pi}{4}\right) =$$\frac{3}{2}$。

答案： 7.$\frac{3}{2}$
解析 $\cos\frac{25\pi}{3}+\tan(-\frac{15\pi}{4})=\cos(8\pi+\frac{\pi}{3})-\tan(3\pi+\frac{3\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{3}-\tan\frac{3\pi}{4}=\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$。

8. 若$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{3}$，则$\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{6}\right) =$$-\frac{1}{3}$。

答案： 8.$-\frac{1}{3}$
解析 因为$\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{3}$，
所以$\sin(\alpha+\frac{7\pi}{6})=\sin[(\alpha+\frac{\pi}{6})+\pi]=-\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{3}$。

9. 化简：
(1) $\sin(-\alpha)\cos(-\alpha - \pi)\tan(2\pi + \alpha)$；
(2) $\frac{\sin^{2}(\alpha + \pi)\cos(\alpha + \pi)}{\tan(\pi - \alpha)\cos^{3}(-\alpha - \pi)\tan(-\alpha - 2\pi)}$。

答案： 9.解
(1)原式$=(-\sin\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tan\alpha=-\sin\alpha(-\cos\alpha)·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sin^{2}\alpha$。
(2)原式$=\frac{(-\sin\alpha)^{2}(-\cos\alpha)}{-\tan\alpha(-\cos^{2}\alpha)(-\tan\alpha)}=\frac{-\sin^{2}\alpha}{-\tan^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=1$。