《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 用二分法求方程的近似解，精确度为$\varepsilon$，则终止条件为 (B)

A.$|x_1 - x_2| ＞ \varepsilon$
B.$|x_1 - x_2| ＜ \varepsilon$
C.$x_1 ＜ \varepsilon ＜ x_2$
D.$x_2 ＜ \varepsilon ＜ x_1$

答案： 1.B 根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为$\epsilon$，当$|x_1 - x_2| ＜ \epsilon$时，即表示满足精确度要求，可以确定近似解.

2. (2025·四川成都期中)下列函数中，不能用二分法求函数零点的有 (B)

A.$f(x) = 3x - 1$
B.$f(x) = x^2 - 2x + 1$
C.$f(x) = 4x$
D.$f(x) = e^x - 2$

答案： 2.B $f(x)=x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$，$f(1)=0$，当$x＜1$时，$f(x)＞0$；当$x＞1$时，$f(x)＞0$，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选B.

3. (2024·吉林长春期末)用二分法求函数$f(x) = 2^x - 3$的零点时，初始区间可选为 (C)

A.$(-1, 0)$
B.$(0, 1)$
C.$(1, 2)$
D.$(2, 3)$

答案： 3.C $f(-1)=-\frac{5}{2}＜0$，$f(0)= -2＜0$，$f(1)= -1＜0$，$f(2)=1＞0$，$f(3)=5＞0$，则$f(1)f(2)＜0$，即初始区间可选为$(1,2)$.

4. 用二分法研究函数$f(x) = x^3 + 2x - 1$的零点时，第一次计算，得$f(0) ＜ 0$，$f(0.5) ＞ 0$，第二次应计算$f(x_1)$，则$x_1$等于 (C)

A.$1$
B.$-1$
C.$0.25$
D.$0.75$

答案： 4.C 因为$f(0)＜0$，$f(0.5)＞0$，所以$f(x)$在$(0,0.5)$内存在零点，根据二分法第二次应该计算$f(x_1)$，其中$x_1=\frac{0 + 0.5}{2}=0.25$.故选C.

5. (多选)在用二分法

求

函数$f(x)$的一个正实数零点时，经计算，$f(0.64) ＜ 0$，$f(0.72) ＞ 0$，$f(0.68) ＜ 0$，则函数的一个精确度为$0.05$的正实数零点的近似值可以为 (ABC)

A.$0.68$
B.$0.72$
C.$0.7$
D.$0.6$

答案： 5.ABC 已知$f(0.64)＜0$，$f(0.72)＞0$，则函数$f(x)$的零点的初始区间为$(0.64,0.72)$，又因为$0.68=\frac{1}{2}×(0.64 + 0.72)$，且$f(0.68)＜0$，所以零点在区间$(0.68,0.72)$上，$|0.72 - 0.68| = 0.04＜0.05$，所以$0.68$，$0.7$，$0.72$都符合.

6. (多选)某同学求函数$f(x) = \ln x + 2x - 6$的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

则方程$\ln x + 2x - 6 = 0$的近似解(精确度为$0.1$)可取为 (AB)

A.$2.51$
B.$2.56$
C.$2.66$
D.$2.78$

答案： 6.AB 因为函数$f(x)=\ln x + 2x - 6$在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程$\ln x + 2x - 6 = 0$的近似解(精确度为$0.1$)在$(2.5,2.5625)$内，所以方程$\ln x + 2x - 6 = 0$的近似解(精确度为$0.1$)可取为$2.51$，$2.56$.

7. 函数$f(x) = x^2 + ax + b$有零点，但不能用二分法求出，则$a$，$b$的关系是$a^2 = 4b$。

答案： 7.$a^2 = 4b$
∵函数$f(x)=x^2 + ax + b$有零点，但不能用二分法求出，
∴函数$f(x)=x^2 + ax + b$的图象与$x$轴相切，$\Delta = a^2 - 4b = 0$，
∴$a^2 = 4b$.

8. 用二分法求方程$\ln x - 2 + x = 0$在区间$[1, 2]$上零点的近似值，先取区间中点$c = \frac{3}{2}$，则下一个含根的区间是$(\frac{3}{2},2)$。

答案： 8.$(\frac{3}{2},2)$
解析 令$f(x)=\ln x - 2 + x$，
∵$f(1)= -1＜0$，$f(2)=\ln 2＞0$，$f(\frac{3}{2})=\ln\frac{3}{2}-\frac{1}{2}＜0$，
∴下一个含根的区间是$(\frac{3}{2},2)$.

9. 函数$g(x) = \sqrt{x} + \log_2 x - 2$在区间$(1, 2)$内是否有零点？若有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为$0.2$）；若没有零点，说明理由。
（参考数据：$\sqrt{1.25} \approx 1.118$，$\sqrt{1.5} \approx 1.225$，$\sqrt{1.625} \approx 1.275$，$\sqrt{1.75} \approx 1.323$，$\log_2 1.25 \approx 0.322$，$\log_2 1.5 \approx 0.585$，$\log_2 1.625 \approx 0.700$，$\log_2 1.75 \approx 0.807$）

答案： 9.解 有零点，零点的近似值为$1.625$.
易得$g(x)=\sqrt{x + \log_2 x}-2$是定义域内的增函数.
∵$g(1)=1 - 2=-1＜0$，$g(2)=\sqrt{2 + \log_2 2}-2=\sqrt{2}-1＞0$，
∴函数$g(x)$在区间$(1,2)$内有且仅有一个零点.
∵$g(1.5)=\sqrt{1.5 + \log_2 1.5}-2\approx1.225 + 0.585 - 2=-0.19＜0$，
∴函数的零点在$(1.5,2)$内，$g(1.75)=\sqrt{1.75 + \log_2 1.75}-2\approx1.323 + 0.807 - 2=0.13＞0$，
∴函数的零点在$(1.5,1.75)$内，$g(1.625)=\sqrt{1.625 + \log_2 1.625}-2\approx1.275 + 0.700 - 2=-0.025＜0$，
∴函数的零点在$(1.625,1.75)$内，又$|1.625 - 1.75| = 0.125＜0.2$，
∴$g(x)$零点的近似值为$1.625$.