《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. “$x^{2}+(y - 2)^{2}=0$”是“$x(y - 2)=0$”的(B)

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B　由$x^{2}+(y - 2)^{2}=0$，得$x = 0$且$y = 2$，则$x(y - 2)=0$。反之，$x(y - 2)=0$，即$x = 0$或$y = 2$，$x^{2}+(y - 2)^{2}=0$不一定成立。故选B。

2. “$x\lt2$”是“$\frac{1}{x - 2}\lt0$”的(A)

A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A　由$x ＜ 2$得$x - 2 ＜ 0$，则$\frac{1}{x - 2}＜0$；由$\frac{1}{x - 2}＜0$，得$x - 2 ＜ 0$，$x ＜ 2$，即“$x ＜ 2$”是“$\frac{1}{x - 2}＜0$”的充要条件。

3. 设$A$，$B$，$C$是三个集合，则“$A\cap B = A\cap C$”是“$B = C$”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.B　由$A\cap B = A\cap C$，不一定有$B = C$，反之，由$B = C$，一定可得$A\cap B = A\cap C$。所以“$A\cap B = A\cap C$”是“$B = C$”的必要不充分条件。故选B。

4. (2024·陕西西安期中)西安市是陕西省的省会，拥有悠久的历史和丰富的文化遗产。根据所给信息可得“甲在陕西省”是“甲在西安市”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.B　由“甲在陕西省”不能推出“甲在西安市”，而“甲在西安市”可以推出“甲在陕西省”，故“甲在陕西省”是“甲在西安市”的必要不充分条件。

5. (链接教材 P20 练习 T3)如图，直线$a$，$b$被直线$c$所截。下列条件中，不是$a// b$的充要条件的是(D)


A.$\angle2 = \angle4$
B.$\angle1 + \angle4 = 180^{\circ}$
C.$\angle5 = \angle4$
D.$\angle1 = \angle3$

答案： 5.D　若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项不符合题意；若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项不符合题意；若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项不符合题意；显然，$\angle1$与$\angle3$是对顶角，由$\angle1 = \angle3$不能得到两直线平行，D选项符合题意。

6. (多选)(2025·陕西西安期中)使“$0\lt x\lt1$”成立的一个必要不充分条件可以是(AC)

A.$x\geq0$
B.$x\leq0$或$x\geq1$
C.$0\lt x\lt2$
D.$x\lt0$

答案： 6.AC　由$0 ＜ x ＜ 1$能推出$x\geq0$，由$x\geq0$推不出$0 ＜ x ＜ 1$，即$x\geq0$是$0 ＜ x ＜ 1$的必要不充分条件；同理可得$0 ＜ x ＜ 2$是$0 ＜ x ＜ 1$的必要不充分条件，所以使“$0 ＜ x ＜ 1$”成立的一个必要不充分条件可以是$x\geq0$或$0 ＜ x ＜ 2$。

7. “$x = 3$或$x = 4$”是“$x - 3 = \sqrt{x - 3}$”的充要条件。(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)

答案： 7.充要
解析　由$x - 3=\sqrt{x - 3}$，得$x = 3$或$x = 4$。显然$x = 3$或$x = 4$时，$x - 3=\sqrt{x - 3}$，故“$x = 3$或$x = 4$”是“$x - 3=\sqrt{x - 3}$”的充要条件。

8. 若“$x\leq - 1$或$x\geq1$”是“$x\lt a$”的必要不充分条件，则实数$a$的最大值为$-1$。

答案： 8.$-1$
解析　“$x\leq - 1$或$x\geq1$”是“$x ＜ a$”的必要不充分条件，则由“$x ＜ a$”可以推出“$x\leq - 1$或$x\geq1$”，但由“$x\leq - 1$或$x\geq1$”推不出“$x ＜ a$”，所以$a\leq - 1$，所以实数$a$的最大值为$-1$。

9. 指出下列各题中$p$是$q$的什么条件。
（1）$p$：$x - 3 = 0$，$q$：$(x - 2)(x - 3)=0$；
（2）$p$：三角形为等腰三角形，$q$：三角形存在两角相等；
（3）$p$：$a\gt b$，$q$：$a + c\gt b + c$。

答案： 9.解　
(1)$x - 3 = 0\Rightarrow(x - 2)(x - 3)=0$，但$(x - 2)(x - 3)=0\not\Rightarrow x - 3 = 0$，故$p$是$q$的充分不必要条件。
(2)三角形为等腰三角形$\Leftrightarrow$三角形存在两角相等，所以$p$是$q$的充要条件。
(3)$a ＞ b\Rightarrow a + c ＞ b + c$，且$a + c ＞ b + c\Rightarrow a ＞ b$，故$p$是$q$的充要条件。