《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 已知函数$ f(x)=\sqrt{x - 4}+\frac{1}{x - 3} $，则$ f(4)= $(D)

A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$

答案： 1.D $f(4)=\sqrt{4 - 4}+\frac{1}{4 - 3}=1$，故选D.

2. 下列函数中，与函数$ y = x + 2 $是同一个函数的是(B)

A.$ y = (\sqrt{x})^2 + 2 $
B.$ y = \sqrt[3]{x^3} + 2 $
C.$ y = \frac{x^2}{x} + 2 $
D.$ y = \sqrt{(x + 2)^2} $

答案： 2.B $y = x + 2$的定义域为$\mathbf{R}$.
对于A，$y = (\sqrt{x})^{2}+2$的定义域为$[0,+\infty)$，与$y = x + 2$的定义域不同，不是同一个函数；
对于B，$y = \sqrt[3]{x^{3}}+2 = x + 2$的定义域为$\mathbf{R}$，与$y = x + 2$的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数；
对于C，$y=\frac{x^{2}}{x}+2$的定义域为$\{x\mid x\neq0\}$，与$y = x + 2$的定义域不同，不是同一个函数；
对于D，$y = \sqrt{(x + 2)^{2}}=\vert x + 2\vert=\begin{cases}x + 2,x\geq - 2,\\ - x - 2,x\lt - 2,\end{cases}$与$y = x + 2$的对应关系不同，不是同一个函数.

3. 若$ f(x)=ax^2 - \sqrt{2} $，$ a $为一个大于$ 0 $的常数，且$ f(f(\sqrt{2})) = -\sqrt{2} $，则$ a = $(D)

A.$ 1 $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \sqrt{2} $
D.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： 3.D 因为$f(\sqrt{2})=a\sqrt{2}-\sqrt{2}$，所以$f(f(\sqrt{2}))=a(a\sqrt{2}-\sqrt{2})-\sqrt{2}=-\sqrt{2}$，所以$a(2a - \sqrt{2})^{2}=0$.又$a＞0$，所以$2a - \sqrt{2}=0$，所以$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. (2024·福建莆田九中期中)已知函数$ f(x + 2) $的定义域为$ (-3, 4) $，则函数$ g(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{2x - 1}} $的定义域为(C)

A.$ \left( \frac{1}{2}, 4 \right) $
B.$ \left( \frac{1}{2}, 2 \right) $
C.$ \left( \frac{1}{2}, 6 \right) $
D.$ \left( \frac{1}{2}, 1 \right) $

答案： 4.C 因为函数$f(x + 2)$的定义域为$(-3,4)$，所以$-3\lt x\lt4$，$-1\lt x + 2\lt6$，所以$f(x)$的定义域为$(-1,6)$.由$2x - 1＞0$，得$x＞\frac{1}{2}$，所以函数$g(x)$的定义域为$(\frac{1}{2},6)$.

5. (多选)下列函数中，值域为$ [0, 4] $的是 (AC)

A.$ f(x) = x - 1 $，$ x \in [1, 5] $
B.$ f(x) = -x^2 + 4 $
C.$ f(x) = \sqrt{16 - x^2} $
D.$ f(x) = x + \frac{1}{x} - 2 $($ x ＞ 0 $)

答案： 5.AC 当$x\in[1,5]$时，$x - 1\in[0,4]$，所以函数$f(x)=x - 1$，$x\in[1,5]$的值域是$[0,4]$，故A正确；因为$-x^{2}\leq0$，所以$-x^{2}+4\leq4$，所以函数$f(x)=-x^{2}+4$的值域是$(-\infty,4]$，故B错误；因为$-x^{2}\leq0$，所以$16 - x^{2}\leq16$，又$16 - x^{2}\geq0$，所以$0\leq\sqrt{16 - x^{2}}\leq4$，所以函数$f(x)=\sqrt{16 - x^{2}}$的值域为$[0,4]$，故C正确；因为$x＞0$，所以$x+\frac{1}{x}\geq2$（当且仅当$x = 1$时取等号），所以$x+\frac{1}{x}-2\geq0$，所以函数$f(x)=x+\frac{1}{x}-2(x＞0)$的值域为$[0,+\infty)$，故D错误.故选AC.

6. (多选)函数$ f(x) = \frac{x}{1 + x^2} $，$ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $，则下列等式成立的是 (AD)

A.$ f(x) = f\left( \frac{1}{x} \right) $
B.$ f\left( \frac{1}{x} \right) = -f(x) $
C.$ f\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{f(x)} $
D.$ f(-x) = -f(x) $

答案： 6.AD $x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，则$f(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^{2}}=\frac{-x}{1+x^{2}}=-f(x)$，$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{1}{x})^{2}}=\frac{x}{x^{2}+1}=f(x)$，
A、D选项正确，B、C选项错误.

7. 已知区间$ (4p - 1, 2p + 1) $，则$ p $的取值范围为$(-\infty,1)$.

答案： 7.$(-\infty,1)$
解析 由题意，得$4p - 1\lt2p + 1$，所以$p\lt1$.

8. (2025·江西南昌期末)函数$ y = x^2 + x $($ -1 \leq x \leq 3 $)的值域为$[-\frac{1}{4},12]$.

答案： 8.$[-\frac{1}{4},12]$
解析 二次函数$y = x^{2}+x$的图象开口向上，对称轴为$x=-\frac{1}{2}$，当$x=-\frac{1}{2}$时，函数取得最小值$-\frac{1}{4}$，当$x = 3$时，函数取得最大值$12$，因此函数的值域为$[-\frac{1}{4},12]$.

9. 已知函数$ f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2} $。
(1) 求$ f(x) $的定义域；
(2) 若$ f(a) = 2 $，求$ a $的值。

答案： 9.解
(1)要使函数$f(x)=\frac{1+x^{2}}{1 - x^{2}}$有意义，只需$1 - x^{2}\neq0$，解得$x\neq\pm1$，所以函数$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq\pm1\}$.
(2)因为$f(x)=\frac{1+x^{2}}{1 - x^{2}}$，所以$f(a)=\frac{1+a^{2}}{1 - a^{2}}=2$，解得$a=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.