《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. $1\ 950^{\circ}$转化为弧度数为 (A)

A.$\dfrac{65\pi}{6}$
B.$\dfrac{65}{6}$
C.$\dfrac{32}{3}$
D.$\dfrac{32\pi}{3}$

答案： 1.A
∵1°=$\frac{π}{180}$，
∴1950°=1950×$\frac{π}{180}$=$\frac{65π}{6}$.

2. 若$\alpha = -7$，则角$\alpha$是 (D)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 2.D
∵2π＜7＜$\frac{5π}{2}$，
∴−$\frac{5π}{2}$＜−7＜−2π，则角α是第四象限角，故选D.

3. 将$2\ 025^{\circ}$化成$\alpha + 2k\pi(0\leqslant\alpha\lt 2\pi,k\in\mathbf{Z})$的形式是 (B)

A.$10\pi - \dfrac{\pi}{4}$
B.$10\pi + \dfrac{5\pi}{4}$
C.$12\pi - \dfrac{3\pi}{4}$
D.$10\pi + \dfrac{3\pi}{4}$

答案： 3.B　2025°=5×360°+225°，225°=$\frac{5π}{4}$，故2025°化成α+2kπ(0≤α＜2π,k∈Z)的形式为10π+$\frac{5π}{4}$.

4. 已知半径为$120\ \mathrm{mm}$的圆上，有一条弧的长度是$144\ \mathrm{mm}$，则该弧所对的圆心角的弧度数为 (B)
A. $12$
B. $1.2$
C. $16$
D. $1.6$

答案： 4.B　半径为120mm的圆上，弧长为144mm的圆弧所对的圆心角的弧度数为$\frac{144}{120}$=1.2.

5. 若扇形的弧长变为原来的$2$倍，半径变为原来的$2$倍，则 (B)

A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积变为原来的$2$倍
D.扇形的圆心角变为原来的$2$倍

答案： 5.B　设原扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α，扇形的弧长变为原来的2倍，为2l，半径变为原来的2倍，为2r，则由扇形的面积公式，可知扇形的面积S=$\frac{1}{2}$×2l×2r = 4×$\frac{1}{2}$lr，变为原来的4倍.由α=$\frac{l}{r}$=$\frac{2l}{2r}$，可知扇形的圆心角不变，故选B.

6. (多选)(2024·安徽淮北期末)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径可能为 (ACD)

A.$5$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 6.ACD　设扇形所在圆的半径为R，弧长为l.因为扇形的周长与面积的数值相等，所以2R + l = $\frac{1}{2}$·l·R，所以l = $\frac{4R}{R - 2}$，因为0＜l＜2πR，所以R＞2 + $\frac{2}{π}$.又2＜2 + $\frac{2}{π}$＜3，故选ACD.

7. 某市在创建全国文明城市活动中，计划在某老旧小区内建立一个扇形绿化区域。若该区域的半径为$20$米，圆心角为$45^{\circ}$，则这块绿化区域占地50π平方米。

答案： 7.50π
　解析　45°化为弧度为$\frac{π}{4}$，则这块绿化区域占地面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{4}$×20² = 50π(平方米).

8. 已知扇形的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，则该扇形的周长的最小值为8$\mathrm{cm}$。

答案： 8.8
　解析　设扇形所在圆的半径为r，弧所对的圆心角为α，弧长为l，面积为S，则l = αr，S = $\frac{1}{2}$lr = $\frac{1}{2}$αr² = 4，即αr² = 8，所以扇形的周长C = 2r + l = 2r + αr ≥ 2$\sqrt{2\alpha r^{2}}$ = 8，当且仅当α = 2时取等号，所以扇形的周长的最小值为8cm.

9. （2024·江西赣州期中）已知$\alpha = -1\ 520^{\circ}$。
（1）将$\alpha$写成$\beta + 2k\pi(k\in\mathbf{Z},0\leqslant\beta\lt 2\pi)$的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求与$\alpha$终边相同的角$\theta$，且满足$-4\pi\leqslant\theta\lt 0$。

答案： 9.解　
(1)因为α = −1520° = −360°×5 + 280°，
　280° = $\frac{280}{180}$π = $\frac{14}{9}$π，所以α = $\frac{14}{9}$π - 10π.
　因为$\frac{3}{2}$π＜$\frac{14}{9}$π＜2π，所以α是第四象限角.
(2)由
(1)可知α = $\frac{14}{9}$π - 10π = -$\frac{4}{9}$π + 2π - 10π = -$\frac{4}{9}$π - 8π，所以与α终边相同的角可表示为θ = -$\frac{4}{9}$π + 2kπ(k∈Z)，令−4π ≤ -$\frac{4}{9}$π + 2kπ＜0，解得 -$\frac{16}{9}$ ≤ k＜$\frac{2}{9}$(k∈Z)，
　所以k = −1,0.
　当k = −1时，θ = -$\frac{4}{9}$π - 2π = -$\frac{22}{9}$π；
　当k = 0时，θ = -$\frac{4}{9}$π.
　所以θ = -$\frac{22}{9}$π或θ = -$\frac{4}{9}$π.

10. 已知半径为$10$的圆$O$中，弦$AB$的长为$10$。
（1）求弦$AB$所对的圆心角$\alpha(0\lt\alpha\leqslant\pi)$的大小；
（2）求$\alpha$所在的扇形的弧长$l$及弧所在的弓形的面积$S$。

答案： 10.解　
(1)由圆O的半径r = 10 = AB，
　　知△AOB是等边三角形，
∴α = ∠AOB = $\frac{π}{3}$.
(2)由
(1)可知α = $\frac{π}{3}$，r = 10，则弧长l = α·r = $\frac{π}{3}$×10 = $\frac{10π}{3}$，扇形的面积S₁ = $\frac{1}{2}$lr = $\frac{1}{2}$×$\frac{10π}{3}$×10 = $\frac{50π}{3}$，
　　而△AOB是等边三角形，
∴S△AOB = $\frac{\sqrt{3}}{4}$×10² = 25$\sqrt{3}$，
∴弓形的面积S = S₁ - S△AOB = $\frac{50π}{3}$ - 25$\sqrt{3}$ = 25($\frac{2π}{3}$ - $\sqrt{3}$).