《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. (2025·山东济宁一中月考)已知命题$p$：$\exists x\in \mathbf{R},m - x^{2}+2x - 5\gt 0$，若$p$的否定为假命题，求实数$m$的取值范围。

答案： 10.解 因为命题$p$的否定为假命题，所以命题$p:\exists x\in\mathbf{R}$，$m - x^{2}+2x - 5＞0$为真命题，
$m - x^{2}+2x - 5＞0$可化为$m＞x^{2}-2x + 5=(x - 1)^{2}+4$，
因为$(x - 1)^{2}+4\geq4$，当且仅当$x = 1$时，等号成立，
所以$\exists x\in\mathbf{R},m＞x^{2}-2x + 5$成立，只需$m＞4$即可，
故实数$m$的取值范围为$\{m|m＞4\}$.

11. (多选)已知哥德巴赫猜想认为任一大于$2$的偶数都可写成两个质数之和。定义$P$为全体质数的集合，那么以下命题中和哥德巴赫猜想不等价的是(AC)

A.$\exists n_{0}\geqslant 2$，且$n_{0}\in \mathbf{N}$，$\forall p_{1}\in P$，$p_{2}\in P$，$p_{1}+p_{2}\neq 2n_{0}$
B.$\{p_{1}+p_{2}\mid p_{1}\in P,p_{2}\in P\}\supseteq \{2n\mid n\geqslant 2$，且$n\in \mathbf{N}\}$
C.$\{x\mid p_{1}\in P,p_{2}\in P,x = p_{1}+p_{2}$且$\frac{x}{2}\notin \mathbf{N}\}=\varnothing$
D.$2m\leqslant 2$或$P\cap \{2m - p\mid p\in P\}\neq \varnothing$，其中$m\in \mathbf{N}$

答案： 11.AC A的意思是存在偶数$2n$。不满足哥德巴赫猜想，与原命题不等价.B的意思是两个质数的和组成的集合，包含所有大于2的偶数的集合，与原命题等价.C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数，与原命题等价.D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数，与原命题等价.故选AC.

12. 已知集合$A = \{x\mid 0\leqslant x\leqslant a\}$，集合$B = \{x\mid m^{2}+3\leqslant x\leqslant m^{2}+4\}$，如果命题“$\exists m\in \mathbf{R}$，$A\cap B\neq \varnothing$”为假命题，则实数$a$的取值范围为(A)

A.$\{a\mid a\lt 3\}$
B.$\{a\mid a\lt 4\}$
C.$\{a\mid 1\lt a\lt 5\}$
D.$\{a\mid 0\lt a\lt 4\}$

答案： 12.A 因为命题“$\exists m\in\mathbf{R},A\cap B\neq\varnothing$”为假命题，
所以命题“$\forall m\in\mathbf{R},A\cap B = \varnothing$”为真命题，
因为集合$A = \{x|0\leq x\leq a\}$，
集合$B = \{x|m^{2}+3\leq x\leq m^{2}+4\}$，
所以当$A = \{x|0\leq x\leq a\}=\varnothing$时，$a＜0$，此时$A\cap B = \varnothing$成立；
当$A = \{x|0\leq x\leq a\}\neq\varnothing$时，由“$\forall m\in\mathbf{R},A\cap B = \varnothing$”得$\begin{cases}a\geq0,\\a＜m^{2}+3,\end{cases}$解得$0\leq a＜3$，
综上，实数$a$的取值范围为$a＜3$.

13. 某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“$\exists x\in \mathbf{R}$，函数$y = x^{2}+2x + m$的图象在$x$轴的下方”是假命题，求$m$的取值范围。小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“$\forall x\in \mathbf{R}$，函数$y = x^{2}+2x + m$的图象在$x$轴的上方或$x$轴上”是真命题，求$m$的取值范围。你认为，两位同学所出的题中$m$的取值范围是否一致？是。(填“是”或“否”)

答案： 13.是
解析 若命题“$\exists x\in\mathbf{R}$，函数$y = x^{2}+2x + m$的图象在$x$轴的下方”是假命题，
则其否定“$\forall x\in\mathbf{R}$，函数$y = x^{2}+2x + m$的图象在$x$轴的上方或$x$轴上”为真命题.
若命题“$\forall x\in\mathbf{R}$，函数$y = x^{2}+2x + m$的图象在$x$轴的上方或$x$轴上”是真命题，
则其否定“$\exists x\in\mathbf{R}$，函数$y = x^{2}+2x + m$的图象在$x$轴的下方”是假命题.
所以两位同学所出题目的条件互为充要条件.
故两位同学所出的题中$m$的取值范围是一致的.

14. 已知命题$p$：$\forall x\in \mathbf{R},2x\neq - x^{2}+m$，命题$q$：$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}+2x - m - 1 = 0$。
(1)写出命题$\neg p$；
(2)若命题$p$为假命题，命题$q$为真命题，求实数$m$的取值范围。

答案： 14.解
(1)因为命题$p:\forall x\in\mathbf{R},2x\neq - x^{2}+m$，
所以$\neg p:\exists x\in\mathbf{R},2x = - x^{2}+m$.
(2)$\because$命题$p$为假命题，
$\therefore\neg p:\exists x\in\mathbf{R},2x = - x^{2}+m$为真命题，
即$-x^{2}-2x + m = 0$有实数根，
$\therefore\Delta=4 + 4m\geq0$，$\therefore m\geq - 1$，
又$\because$命题$q$为真命题，
$\therefore x^{2}+2x - m - 1 = 0$有实数根，
$\therefore\Delta=4 + 4(m + 1)\geq0$，$\therefore m\geq - 2$，
综上，$m$的取值范围是$\{m|m\geq - 1\}$.

15. 已知命题$p$：“对任意$2\leqslant x_{1}\leqslant 5$，存在$\frac{3}{4}+m\leqslant x_{2}\leqslant 3$，使得$x_{1}\geqslant x_{2}$”为假命题，则实数$m$的取值范围是$\frac{5}{4}＜m\leq\frac{9}{4}$。

答案： 15.$\frac{5}{4}＜m\leq\frac{9}{4}$
解析 命题$p$：“对任意$2\leq x_{1}\leq5$，存在$\frac{3}{4}+m\leq x_{2}\leq3$，使得$x_{1}\geq x_{2}$”为假命题，
则$\neg p$：“存在$2\leq x_{1}\leq5$，对任意的$\frac{3}{4}+m\leq x_{2}\leq3$，使得$x_{1}＜x_{2}$”为真命题，
即$(x_{1})_{\min}＜(x_{2})_{\min}$，故$\frac{3}{4}+m＜2$且$\frac{3}{4}+m\leq3$，解得$\frac{5}{4}＜m\leq\frac{9}{4}$.