《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)下列函数关系中，不能看作是指数型函数$ y = ka^x(k \neq 0, a ＞ 0, a \neq 1) $模型的是(ABD)

A.自由落体运动中，物体离地面的高度与时间的关系
B.钟表盘中，时针的运行角度与时间的关系
C.某省的人口自然增长率为$ 1.2\% $时，该省的人口总数与年份的关系
D.邮件的邮资与邮件质量之间的关系

答案： 1.ABD 选项A中的关系是二次函数关系，选项B中的关系是一次函数关系，选项C中的关系是指数型函数关系，选项D中的关系是分段函数关系.

2. 下列函数是指数函数的是(A)

A.$ y = \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^x $
B.$ y = (-8)^x $
C.$ y = 2^{x - 1} $
D.$ y = x^2 $

答案： 2.A 对于A，函数$y = \left( \frac{\pi}{2} \right)^{x}$中，$a = \frac{\pi}{2} ＞ 1$，是指数函数；对于B，函数$y = ( - 8)^{x}$中，$a = - 8 ＜ 0$，不是指数函数；对于C，函数$y = 2^{x - 1} = \frac{1}{2} × 2^{x}$，不是指数函数；对于D，函数$y = x^{2}$是幂函数，不是指数函数.

3. (2025·江西上饶期中)已知函数$ f(x) = a^x(a ＞ 0, a \neq 1) $满足$ f(2) = 9 $，则$ f(-1) = $(C)

A.3
B.-3
C.$ \dfrac{1}{3} $
D.$ -\dfrac{1}{3} $

答案： 3.C 由题意可知$f(2) = a^{2} = 9$，解得$a = 3$，则$f(x) = 3^{x}$，所以$f( - 1) = \frac{1}{3}$.

4. 某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，则3年后剩余(D)

A.0.015克
B.$ (1 - 0.5\%)^3 $克
C.0.925克
D.$ \sqrt[100]{0.125} $克

答案： 4.D 设每年减少的比例为$x$，因此1克这种放射性元素，经过$n(n \in N^{*})$年后剩余的克数为$y = 1 × (1 - x)^{n}$，故经过100年后剩余$1 × (1 - x)^{100}$克，依题意得$(1 - x)^{100} = 0.5$，所以$x = 1 - \sqrt[100]{0.5}$，3年后剩余$(1 - x)^{3}$克，将$x$的值代入，得结果为$\sqrt[100]{0.125}$，故选D.

5. (多选)已知函数$ f(x) = \begin{cases}3^x, & x \geq 0, \\ \left( \dfrac{1}{3} \right)^x, & x ＜ 0,\end{cases}$若$ f(a) = 3 $，则实数$ a $的值为( )

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： 5.AC 当$a \geq 0$时，$f(a) = 3^{a} = 3$，所以$a = 1$；当$a ＜ 0$时，$f(a) = \left( \frac{1}{3} \right)^{a} = 3$，所以$a = - 1$. 综上，实数$a$的值为1或一1.

6. 某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量$ P $(单位：mg/L)与时间$ t $(单位：h)间的关系为$ P = P_0e^{-kt} $，其中$ P_0, k $是正的常数，如果在前5 h消除了10%的污染物，那么10 h后还剩的污染物有(A)

A.81%
B.19%
C.1%
D.99%

答案： 6.A 由题意知在前5h消除了10%的污染物，即$0.9P_{0} = P_{0}e^{- 5k}$，即$e^{- 5k} = 0.9$，则10h后污染物的含量为$P = P_{0}e^{- 10k} = P_{0}(e^{- 5k})^{2} = 0.9^{2}P_{0} = 0.81P_{0}$，即10h后还剩81%的污染物，故选A.

7. 已知$ f(2x + 3) = e^x $，且$ f(x_0) = 1 $，则$ x_0 = $3.

答案： 7.3
解析 令$2x + 3 = t$，则$x = \frac{t - 3}{2}$，$f(t) = e^{\frac{t - 3}{2}}$，即$f(x_{0}) = e^{\frac{x_{0} - 3}{2}} = 1$，解得$x_{0} = 3$.

8. 有关部门2023年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车计划每年的投入量比上一年增加50%，则该市在2029年应投入电力型公交车1458 辆。

答案： 8.1458
解析 设从2023年起，经过$x$年，投入电力型公交车$y$辆，则有$y = 128 × 1.5^{x}$，因为从2023年起，经过6年到2029年，所以该市在2029年应投入电力型公交车为$y = 128 × 1.5^{6} = 1458$辆.

9. 已知函数$ f(x) = (a^2 - a - 1)a^x $。
(1) 当$ a = 2 $时，求$ f(1) $的值；
(2) 若$ f(x) $是指数函数，求$ f(x) $的解析式。

答案： 9.解
(1)当$a = 2$时，$f(x) = 2^{x}$，所以$f(1) = 2^{1} = 2$.
(2)因为$f(x)$是指数函数，所以$\begin{cases} a^{2} - a - 1 = 1, \\ a ＞ 0, \\ a \neq 1, \end{cases}$
解得$a = 2$，所以$f(x) = 2^{x}$.