《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 不等式$\frac{x - 2}{x + 3} ＞ 0$的解集是 (C)

A.$\{x\mid - 3 ＜ x ＜ 2\}$
B.$\{x\mid x ＞ 2\}$
C.$\{x\mid x ＜ - 3 或 x ＞ 2\}$
D.$\{x\mid x ＜ - 2 或 x ＞ 3\}$

答案： 1.C 由$\frac {x - 2}{x + 3} ＞ 0$得$(x - 2)(x + 3) ＞ 0$，解得$x ＞ 2$或$x ＜ - 3$.

2. 不等式$\frac{2 - x}{x + 4} ＞ 1$的解集为 (C)

A.$\{x\mid - 4 ＜ x ＜ 2\}$
B.$\{x\mid x ＜ - 1\}$
C.$\{x\mid - 4 ＜ x ＜ - 1\}$
D.$\{x\mid x ＜ - 4 或 x ＞ 1\}$

答案： 2.C 由$\frac {2 - x}{x + 4} ＞ 1$得$\frac {2 - x}{x + 4} - 1 = \frac { - 2x - 2}{x + 4} ＞ 0$，
即$(2x + 2)(x + 4) ＜ 0$，解得$- 4 ＜ x ＜ - 1$，
$\therefore$不等式的解集为$\{ x\mid - 4 ＜ x ＜ - 1\}$.

3. (2025·山东济南期中)若关于$x$的不等式$ax - b ＞ 0$的解集为$\{x\mid x ＞ 1\}$，则关于$x$的不等式$\frac{ax + b}{x - 2} ＞ 0$的解集为 (C)

A.$\{x\mid x ＞ 1 或 x ＜ - 2\}$
B.$\{x\mid 1 ＜ x ＜ 2\}$
C.$\{x\mid x ＞ 2 或 x ＜ - 1\}$
D.$\{x\mid - 1 ＜ x ＜ 2\}$

答案： 3.C $\because ax - b ＞ 0$的解集为$\{ x\mid x ＞ 1\}$，$\therefore a ＞ 0$，且$a = b$.故$\frac {ax + b}{x - 2} = \frac {a(x + 1)}{x - 2} ＞ 0$，等价为$(x + 1)(x - 2) ＞ 0$，$\therefore x ＞ 2$或$x ＜ - 1$.

4. 若集合$A = \{x\mid ax^2 - ax + 1 ＜ 0\} = \varnothing$，则实数$a$的取值范围是 (D)

A.$\{a\mid 0 ＜ a ＜ 4\}$
B.$\{a\mid 0 \leq a ＜ 4\}$
C.$\{a\mid 0 ＜ a \leq 4\}$
D.$\{a\mid 0 \leq a \leq 4\}$

答案： 4.D 当$a = 0$时，满足条件；当$a \neq 0$时，则$\begin{cases} a ＞ 0, \\ \Delta = ( - a)^2 - 4a \leq 0, \end{cases}$得$0 ＜ a \leq 4$，所以$0 \leq a \leq 4$.

5. 产品的总成本$y$(万元)与产量$x$(台)之间的函数关系式是$y = 3000 + 20x - 0.1x^2$，$0 ＜ x ＜ 240$。若每台产品的售价为$25$万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 (C)

A.$100$台
B.$120$台
C.$150$台
D.$180$台

答案： 5.C 由题设，产量$x$台时，总售价为$25x$，欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，即$25x \geq 3000 + 20x - 0.1x^2$，即$0.1x^2 + 5x - 3000 \geq 0$，$x^2 + 50x - 30000 \geq 0$，解得$x \geq 150$或$x \leq - 200$(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.

6. 有纯农药一桶，倒出$8$升后用水补满，然后倒出$4$升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的$28\%$，则桶的容积$x$的取值范围为(C)

A.$\{x\mid \frac{10}{3} ＜ x ＜ \frac{40}{3}\}$
B.$\{x\mid \frac{10}{3} \leq x \leq \frac{40}{3}\}$
C.$\{x\mid 8 ＜ x \leq \frac{40}{3}\}$
D.$\{x\mid 8 \leq x \leq \frac{40}{3}\}$

答案： 6.C 倒前纯农药为$x$升，倒出纯农药8升，则纯农药还剩$(x - 8)$升，用水补满后桶内溶液浓度为$\frac {x - 8}{x}$，
倒出溶液4升，纯农药还剩$(x - 8) - \frac {x - 8}{x} × 4$升，
$\therefore \left[ (x - 8) - \frac {x - 8}{x} × 4 \right] \leq 28\% · x$，
又$\because x ＞ 0$，$\therefore$原不等式化简为$9x^2 - 150x + 400 \leq 0$，
即$(3x - 10)(3x - 40) \leq 0$，解得$\frac {10}{3} \leq x \leq \frac {40}{3}$，
又$x ＞ 8$，$\therefore 8 ＜ x \leq \frac {40}{3}$，故选C.

7. 将进货单价为$80$元的商品按$90$元一个售出时，能卖出$400$个，每涨价$1$元，其销售量就减少$20$个，为了使商家利润有所增加，售价$b$的取值范围应是$\{ b\mid 90 ＜ b ＜ 100\}$。

答案： 7.$\{ b\mid 90 ＜ b ＜ 100\}$
解析 设每个涨价$a$元，则涨价后的利润与原利润之差为$(10 + a)(400 - 20a) - 10 × 400 = - 20a^2 + 200a$.
要使商家利润有所增加，则必须使$- 20a^2 + 200a ＞ 0$，
即$a^2 - 10a ＜ 0$，得$0 ＜ a ＜ 10$.
$\therefore$售价$b$的取值范围为$\{ b\mid 90 ＜ b ＜ 100\}$.

8. 若关于$x$的不等式$\frac{x - a}{x + 1} ＞ 0$的解集为$\{x\mid x ＜ - 1 或 x ＞ 4\}$，则实数$a = $4$$。

答案： 8.4
解析 由题意知，不等式的解集为$\{ x\mid x ＜ - 1$或$x ＞ 4\}$，则$(x - a)(x + 1) ＞ 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 4) ＞ 0$，故$a = 4$.

9. 解关于$x$的不等式组：$\begin{cases}\frac{x - 1}{x + 2} \leq 0, \\x^2 - 2x - 3 ＜ 0.\end{cases}$

答案： 9.解$\frac {x - 1}{x + 2} \leq 0$等价于$(x - 1)(x + 2) \leq 0$且$x + 2 \neq 0$，
解得$- 2 ＜ x \leq 1$；
$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$，即$(x + 1)(x - 3) ＜ 0$，解得$- 1 ＜ x ＜ 3$.
所以原不等式组的解集为$\{ x\mid - 1 ＜ x \leq 1\}$.

10. 某养殖户欲投资$10$万元养羊，每万元可创造利润$0.15$万元。若进行技术指导，养羊的投资减少$x(x ＞ 0)$万元，且每万元创造的利润变为原来的$(1 + 0.25x)$倍。现将养羊少投资的$x$万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为$0.15(a - 0.875x)$万元，其中$a ＞ 0$。
(1) 若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求$x$的取值范围；
(2) 若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求$a$的最大值。

答案： 10.解
(1)由题意，得$0.15(1 + 0.25x)(10 - x) \geq 0.15 × 10$，
整理得$x^2 - 6x \leq 0$，解得$0 \leq x \leq 6$.又$x ＞ 0$，故$0 ＜ x \leq 6$.
(2)由题意知网店销售的利润为$0.15(1 + 0.25x)(10 - x)$万元，
技术指导后，养羊的利润为$0.15(1 + 0.25x)(10 - x)$万元，
则$0.15(a - 0.875x)x \leq 0.15(1 + 0.25x)(10 - x)$恒成立，
$\because 0 ＜ x ＜ 10$，$\therefore a \leq \frac {5x}{8} + \frac {10}{x} + 1.5$恒成立，
又$\frac {5x}{8} + \frac {10}{x} \geq 5$，当且仅当$x = 4$时等号成立，
$\therefore 0 ＜ a \leq 6.5$，即$a$的最大值为$6.5$.