《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 下列命题是“$\forall x\in \mathbf{R},x^{2} ＞ 3$”的另一种表述的是(C)

A.有一个$x\in \mathbf{R}$，使得$x^{2} ＞ 3$
B.对有些$x\in \mathbf{R}$，使得$x^{2} ＞ 3$
C.任选一个$x\in \mathbf{R}$，都有$x^{2} ＞ 3$
D.至少有一个$x\in \mathbf{R}$，使得$x^{2} ＞ 3$

答案： 1.C

2. 下列命题是存在量词命题且是真命题的是(C)

A.所有的二次函数的图象都是轴对称图形
B.平行四边形的对角线相等
C.有些实数是无限不循环小数
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

答案： 2.C 对于A，命题中含有全称量词“所有”，为全称量词命题. 故A不符合题意. 对于B，命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题. 故B不符合题意. 对于C，命题中含有存在量词“有些”，为存在量词命题. π是实数，且是无限不循环小数，为真命题，故C符合题意. 对于D，命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题. 故D不符合题意.

3. (2024·广东广州期中)下列命题中的假命题是(C)

A.$\exists x\in \mathbf{R}$，$|x|=0$
B.$\forall x\in \mathbf{R}$，$x^{2}+1 ＞ 0$
C.$\forall x\in \mathbf{R}$，$x^{3} ＞ 0$
D.$\exists x\in \mathbf{R}$，$2x - 10 = 1$

答案： 3.C 对于A，当x = 0时，|x| = 0，故A为真命题；对于B，因为x ∈ R，所以x² ≥ 0，则x² + 1 ≥ 1 ＞ 0，故B为真命题；对于C，当x = 0时，x³ = 0，故C为假命题；对于D，由2x - 10 = 1，得$x = \frac{11}{2} ∈ R，$故D为真命题.

4. (多选)设非空集合$P$，$Q$满足$P\cap Q = P$，且$P\neq Q$，则下列选项中正确的是(BD)

A.$\forall x\in Q$，有$x\in P$
B.$\exists x\in Q$，使得$x\notin P$
C.$\exists x\in P$，使得$x\notin Q$
D.$\forall x\notin Q$，有$x\notin P$

答案： 4.BD 由题意得P ⊊ Q，对于A、B，∃x ∈ Q，使得x ∉ P，故A错误，B正确；对于C，∀x ∈ P，有x ∈ Q，故C错误；对于D，∀x ∉ Q，有x ∉ P，故D正确，故选BD.

5. 已知命题$p$：$\forall x\in \mathbf{R}$，$x^{2}-2x - a ＞ 0$，若$p$为真命题，则实数$a$的取值范围是(A)

A.$a ＜ -1$
B.$a ＞ -1$
C.$a\geqslant -1$
D.$a\leqslant -1$

答案： 5.A 由题意知Δ = (-2)² - 4×(-a) = 4 + 4a ＜ 0，可得a ＜ -1.

6. (多选)(2024·湖北襄阳一中月考)下列命题正确的是(AD)

A.$\exists x\in \mathbf{R}$，$|x| ＞ x$
B.$\forall x\in \mathbf{R}$，$x^{2}-3x - 5 ＞ 0$
C.$\forall x\in \{ x\mid x ＞ 0\}$，$x ＞ \sqrt {x}$
D.$\exists a$，$b\in \mathbf{R}$，$|a - 2| + (b + 1)^{2}\leqslant 0$

答案： 6.AD 对于A，当x ＜ 0时，|x| = -x ＞ 0 ＞ x，A正确；对于B，当x = 1时，1² - 3 - 5 = -7 ＜ 0，B错误；对于C，当x = 1时，x ＞ √x 不成立，C错误；对于D，当a = 2，b = -1时，|a - 2| + (b + 1)² = 0成立，D正确.

7. （2024·山东烟台期中）根据下述事实，写出一个含有量词的真命题：∀k ∈ N⁺，1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k - 1) = k².
$1 = 1^{2}$，
$1 + 3 = 2^{2}$，
$1 + 3 + 5 = 3^{2}$，
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$，
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2}$，
$·s$

答案： 7.∀k ∈ N⁺，1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k - 1) = k²
解析 观察式子可知：从1开始从小到大连续k个奇数相加的和为k²，故可得∀k ∈ N⁺，1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k - 1) = k².

8. 若命题“$\exists x\in \mathbf{R}$，使得$x^{2}-2x + m = 0$”是真命题，则实数$m$的取值范围为m ≤ 1.

答案： 8.m ≤ 1
解析 命题“∃x ∈ R，使得x² - 2x + m = 0”是真命题，即方程x² - 2x + m = 0有实数解，
∴Δ = 4 - 4m ≥ 0 ⇒ m ≤ 1.

9. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假.
(1) 任意两个等边三角形都相似；
(2) 存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3) 对任意实数$x_{1}$，$x_{2}$，若$x_{1} ＜ x_{2}$，都有$x_{1}^{2} ＜ x_{2}^{2}$；
(4) 存在一个实数$x$，使得$x^{2} + 2x + 3 = 0$.

答案： 9.解
(1)全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题.
(2)存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题.
(3)全称量词命题，存在x₁ = -5 ＜ x₂ = -3，但(-5)² ＞ (-3)²，该命题是假命题.
(4)存在量词命题，由于x ∈ R，则x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 ≥ 2，因此使得x² + 2x + 3 = 0的实数x不存在，该命题是假命题.