《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 已知$ f(x)=\begin{cases}-x^2, & x\leqslant0, \\ x, & x＞0,\end{cases}$则$ f(-3)= $( )

A.$-3$
B.$3$
C.$-9$
D.$9$

答案： 1.C -3＜0，所以$f(-3)=-(-3)^2=-9。$

2. (多选)下列关于分段函数的说法正确的是(BC)

A.分段函数在每段自变量取值范围内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数
B.若$ f(x)=\begin{cases} x, & x\geqslant0, \\ -x, & x＜0, \end{cases} $则$ f(1)=1 $
C.$ f(x)=|x - 2| $是分段函数
D.分段函数的定义域都是$\boldsymbol{\mathrm{R}}$

答案： 2.BC A选项，分段函数在每段自变量取值范围内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误；B选项，由函数的解析式可知B正确；C选项，f(x)=|x-2|$=\begin{cases}x-2,x\geq2,\\2-x,x＜2\end{cases}$是一个分段函数，故C正确；D选项，分段函数的定义域不都是R，故D错误.故选BC.

3. 已知函数$ f(x)=\begin{cases}x + 2, & x\leqslant0, \\ x^2, & 0＜x\leqslant3,\end{cases}$若$ f(x)=3 $，则$ x $的值是( )

A.$\sqrt{3}$
B.$9$
C.$1$或$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$

答案： 3.A 当$x\leq0$时，由f(x)=x+2=3，得x=1(舍)；
当0＜x\leq3时，由$f(x)=x^2=3，$可得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}($舍).
综上所述，$x=\sqrt{3}.$

4. 已知定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的函数$ f(x)=\begin{cases}2\ 024, & x\in\boldsymbol{\mathrm{Z}}, \\ -2\ 024, & x\notin\boldsymbol{\mathrm{Z}},\end{cases}$则“$ f(f(x))=2\ 024 $”是“$ x\notin\boldsymbol{\mathrm{Z}} $”的( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.B 若$x\notin\mathbf{Z}，$则f(x)=-2024，所以f(f(x))=2024.若f(f(x))=2024，则$f(x)\in\mathbf{Z}，$所以$x\in\mathbf{R}.$所以“f(f(x))=2024”是$“x\notin\mathbf{Z}”$的必要不充分条件.故选B.

5. 设函数$ f(x)=\begin{cases}x^2 - 2x, & x\geqslant0, \\ -x^2 - 4x, & x＜0,\end{cases}$则满足$ f(x)＜3 $的$ x $的取值范围是( )

A.$(-\infty, -1)\cup(1, 4)$
B.$(-\infty, -1)\cup(1, 3)$
C.$(-\infty, -3)\cup(-1, 4)$
D.$(-\infty, -3)\cup(-1, 3)$

答案： 5.D 当x＜0时，$f(x)=-x^2-4x＜3，$解得x＞-1或x＜-3，所以x＜-3或-1＜x＜0；
当$x\geq0$时，$f(x)=x^2-2x＜3，$解得-1＜x＜3，所以$0\leq x＜3.$
综上，满足f(x)＜3的x的取值范围是$(-\infty,-3)\cup(-1,3).$

6. (多选)(2024·浙江杭州期中)已知$ f(x)=\begin{cases}x^2, & x\geqslant5, \\ \dfrac{1}{2}f(x + 1), & x＜5,\end{cases}$则( )

A.$ 2f(4)=f(5) $
B.$ 2f(5)=f(6) $
C.$ f(1)=\dfrac{15}{32} $
D.当$ x\in[4, 5) $时，$ f(x)=\dfrac{(x + 1)^2}{2} $

答案： 6.AD 因为$f(x)=\begin{cases}x^2,x\geq5,\frac{1}{2}f(x+1),x＜5,\end{cases}$所以$f(4)=\frac{1}{2}f(5)，$
即2f
(4)=f
(5)，故A正确；f
(5)=25，f
(6)=36，所以$2f(5)\neq f(6)，$故B错误；$f(1)=\frac{1}{2}f(2)=\frac{1}{4}f(3)=\frac{1}{8}f(4)=\frac{1}{16}f(5)=\frac{25}{16}\neq\frac{15}{32}，$故C错误；当$x\in[4,5)$时，$x+1\in[5,6)，$所以$f(x)=\frac{1}{2}f(x+1)=\frac{(x+1)^2}{2}，$故D正确.

7. 设函数$ f(x)=\begin{cases}2x + 4, & x\geqslant3, \\ f(x + 1) - 1, & x＜3,\end{cases}$则$ f(1)= $ ______ .

答案： 7.8
解析 因为$f(x)=\begin{cases}2x+4,x\geq3,\\f(x+1)-1,x＜3,\end{cases}$所以f
(1)=
f
(2)-1=f
(3)-2=2×3+4-2=8.

8. 若函数$ y = f(x) $的图象如图所示，则它的解析式为.

答案： $8.f(x)=\begin{cases}2x,0\leq x\leq1,\\2,1＜x＜2,\\3,x\geq2\end{cases}$
解析 当$0\leq x\leq1$时，设函数解析式为$y=kx(k\neq0)，$由题图知k=2，所以y=2x；当1＜x＜2时，y=2；当$x\geq2$时，y=3.

9. (2025·四川内江期中)已知函数$ f(x)=\begin{cases} 2x + 1, & x\leqslant1, \\ x^2 - 3, & x＞1. \end{cases} $
(1) 求$ f(1) $和$ f\left(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right) $；
(2) 若$ f(x)\geqslant1 $，求实数$ x $的取值范围.

答案： 9.解
(1)因为$f(x)=\begin{cases}2x+1,x\leq1,\\x^2-3,x＞1,\end{cases}$所以f
(1)=3，
$f(\frac{1}{2})=2×\frac{1}{2}+1=2，$所以$f(f(\frac{1}{2}))=f(2)=2^2-$
3=1.
(2)当$x\leq1$时，由$f(x)=2x+1\geq1$可得$x\geq0，$此时$0\leq$
$x\leq1，$
当x＞1时，由$f(x)=x^2-3\geq1，$解得$x\leq-2$或$x\geq2，$此时
$x\geq2，$
所以满足不等式$f(x)\geq1$的x的取值范围是$[0,1]\cup$
$[2,+\infty).$