《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知集合$ A = \{x|1 - a \leq x \leq 1 + a\} $，$ B = \{x|x \leq 1 或 x \geq 4\} $.
（1）当$ a = 3 $时，求$ A \cap B $；
（2）若$ A \cap B = \varnothing $，求实数$ a $的取值范围.

答案： 10.解　
(1)当$a = 3$时，$A = \{ x| - 2 \leq x \leq 4\}$，所以$A \cap B = \{ x| - 2 \leq x \leq 1$或$x = 4\}$.
(2)当$1 - a ＞ 1 + a$，即$a ＜ 0$时，$A = \varnothing$，满足$A \cap B = \varnothing$；
　　当$1 - a \leq 1 + a$，即$a \geq 0$时，$A \neq \varnothing$，要使$A \cap B = \varnothing$，则$\begin{cases}1 - a ＞ 1, \\1 + a ＜ 4, \\a \geq 0, \end{cases}$无解.
　　综上，实数$a$的取值范围为$a ＜ 0$.

11. (2025·江苏盐城期中)已知集合$ A = \{1, 3^a\} $，$ B = \{a, b\} $，若$ A \cap B = \{\frac{1}{3}\} $，则$ A \cup B $为 (D)

A.$\{\frac{1}{3}, 1, b\}$
B.$\{-1, \frac{1}{3}\}$
C.$\{1, \frac{1}{3}\}$
D.$\{-1, 1, \frac{1}{3}\}$

答案： 11.D 因为$A \cap B = \left\{ \frac{1}{3}\right\},A = \{ 1,3^{a}\},B = \{ a,b\}$，所以$3^{a} = \frac{1}{3}$，所以$a = - 1,b = \frac{1}{3}$，所以$A \cup B = \left\{ - 1,1,\frac{1}{3}\right\}$.

12. (多选)已知集合$ A = \{x|x = 4k_1 - 3, k_1 \in \mathbf{Z}\} $，$ B = \{x|x = 2k_2 + 1, k_2 \in \mathbf{Z}\} $，则 (BC)

A.$ 7 \in A \cap B $
B.$ 13 \in A \cup B $
C.$ A \subsetneqq B $
D.$ B \subsetneqq A $

答案： 12.BC 解法一：易知$7 \notin A$，故A错误；易知$13 \in B$，故B正确；$A = \{ x \mid x = 2(2k_1 - 2) + 1,k_1 \in Z\}$，故$A \subseteq B$，故C正确，D错误. 故选BC.
　　解法二：依题意，$A = \{ ·s, - 3,1,5,9,13,17,21,·s\}$，$B = \{ ·s, - 3, - 1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,·s\}$，观察可知A、D错误，B、C正确. 故选BC.

13. 已知集合$ A = \{x|x \geq 1\} $，$ B = \{x|\frac{1}{2}a \leq x \leq 2a - 1\} $. 若$ B \neq \varnothing $，则实数$ a $的取值范围是$\left\{ a \mid a \geq \frac{2}{3}\right\}$；若$ A \cap B = B $，则实数$ a $的取值范围是$\left\{ a \mid a ＜ \frac{2}{3}\right\}$或$a \geq 2$.

答案： 13.$\left\{ a \mid a \geq \frac{2}{3}\right\} \left\{ a \mid a ＜ \frac{2}{3}\right\}$或$a \geq 2$
　　解析　由$B \neq \varnothing$，得$\frac{1}{2}a \leq 2a - 1$，解得$a \geq \frac{2}{3}$. 由$A \cap B = B$，得$B \subseteq A$，当$B = \varnothing$时，满足$B \subseteq A$，此时$a ＜ \frac{2}{3}$；当$B \neq \varnothing$时，由$B \subseteq A$，得$1 \leq \frac{1}{2}a \leq 2a - 1$，解得$a \geq 2$. 综上，实数$a$的取值范围是$\left\{ a \mid a ＜ \frac{2}{3}\right\}$或$a \geq 2$.

14. 已知集合$ A = \{x|a - 1 \leq x \leq a + 1\} $，$ B = \{x|-1 \leq x \leq 3\} $.
在①$ A \cup B = B $；②$ A \cap B = \varnothing $这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.
(1)当$ a = 1 $时，求$ A \cup B $；
(2)若，求实数$ a $的取值范围.

答案： 14.解　
(1)当$a = 1$时，$A = \{ x \mid 0 \leq x \leq 2\}$，因为$B = \{ x \mid - 1 \leq x \leq 3\}$，所以$A \cup B = \{ x \mid - 1 \leq x \leq 3\}$.
(2)若选①，即$A \cup B = B$，则$A \subseteq B$，因为$A = \{ x \mid a - 1 \leq x \leq a + 1\},B = \{ x \mid - 1 \leq x \leq 3\}$，所以$\begin{cases} - 1 \leq a - 1, \\ a + 1 \leq 3, \end{cases}$所以$0 \leq a \leq 2$.
　所以$a$的取值范围为$\{ a \mid 0 \leq a \leq 2\}$.
　若选②，即$A \cap B = \varnothing$，则需满足$a + 1 ＜ - 1$或$3 ＜ a - 1$，所以$a ＜ - 2$或$a ＞ 4$.
　所以$a$的取值范围为$\{ a \mid a ＜ - 2$或$a ＞ 4\}$.

15. (多选)设不大于$ x $的最大整数为$[x]$，如$[3.6] = 3$. 已知集合$ A = \{x|[x] = -1\} $，$ B = \{x|0 ＜ [2x + 2] ＜ 3\} $，则 (AD)

A.$ A = \{x|-1 \leq x ＜ 0\} $
B.$ A \cup B = \{x|-1 \leq x \leq \frac{1}{2}\} $
C.$[-\sqrt{10}] = -3$
D.$ A \cap B = \{x|-\frac{1}{2} \leq x ＜ 0\} $

答案： 15.AD $A = \{ x|\lfloor x \rfloor = - 1\} = \{ x \mid - 1 \leq x ＜ 0\}$，故A正确. 由$0 ＜ \lfloor 2x + 2 \rfloor ＜ 3$，得$1 \leq 2x + 2 ＜ 3$，则$-\frac{1}{2} \leq x ＜ \frac{1}{2}$，故$B = \left\{ x \mid -\frac{1}{2} \leq x ＜ \frac{1}{2}\right\}$，因此$A \cup B = \left\{ x \mid - 1 \leq x ＜ \frac{1}{2}\right\}$，$A \cap B = \left\{ x \mid -\frac{1}{2} \leq x ＜ 0\right\}$，故B错误，D正确. 由于$- 4 ＜ - \sqrt{10} ＜ - 3$，所以$\lfloor - \sqrt{10} \rfloor = - 4$，故C错误.