《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知全集$ U = \mathbf{R} $，$ A = \{ x\mid -4\leqslant x\lt2\} $，$ B = \{ x\mid -1\lt x\leqslant3\} $，$ P = \{ x\mid x\leqslant0 或 x\geqslant\frac{5}{2}\} $，求$ A\cap B $，$ (\complement_{U}B)\cup P $，$ (A\cap B)\cap(\complement_{U}P) $。

答案：
10.解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示.

因为U=R，A={x | -4 ≤ x ＜ 2},B={x | -1 ＜ x ≤ 3}，所以A ∩ B={x | -1 ＜ x ＜ 2},∁UB={x | x ≤ -1或x ＞ 3}，又P={x | x ≤ 0或x ≥ $\frac{5}{2}$}，所以(∁UB) ∪ P = {x | x ≤ 0或x ≥ $\frac{5}{2}$}，又∁UP={x | 0 ＜ x ＜ $\frac{5}{2}$}，所以(A ∩ B) ∩ (∁UP)={x | 0 ＜ x ＜ 2}.

11. (多选)已知全集$ U = \mathbf{Z} $，集合$ A = \{ x\mid 2x + 1\geqslant0, x\in\mathbf{Z}\} $，$ B = \{ -1,0,1,2\} $，则下列结论正确的有(AD)

A.$ A\cap B = \{ 0,1,2\} $
B.$ A\cup B = \{ x\mid x\gt0\} $
C.$ (\complement_{U}A)\cap B = \{ 1\} $
D.$ A\cap B $的真子集个数是$ 7 $

答案： 11.AD　A={x | 2x + 1 ≥ 0,x ∈ Z}={x | x ≥ -$\frac{1}{2}$,x ∈ Z}，对于选项A：A ∩ B = {0,1,2}，正确；对于选项B：A ∪ B = {x | x ≥ -1,x ∈ Z}，错误；对于选项C：∁UA = {x | x ＜ -$\frac{1}{2}$,x ∈ Z}，所以(∁UA) ∩ B = {-1}，错误；对于选项D：A ∩ B = {0,1,2}，其真子集个数为2³ - 1 = 7，正确. 故选AD.

12. 已知$ U = \mathbf{R} $，集合$ A = \{ x\mid x^{2}-x - 2 = 0\} $，$ B = \{ x\mid mx + 1 = 0\} $，$ B\cap(\complement_{U}A)=\varnothing $，则实数$ m = $(D)

A.$-\frac{1}{2}$或$ 1 $
B.$-\frac{1}{2}$或$ 0 $
C.$ 1 $或$ 0 $
D.$-\frac{1}{2}$或$ 1 $或$ 0 $

答案： 12.D　由题可知，A={2,-1}，则∁UA = {x | x ≠ -1且x ≠ 2}，因为B={x | mx + 1 = 0}，所以当m = 0时，B = ∅，则B ∩ (∁UA)=∅，符合题意；当m ≠ 0时，B = {-$\frac{1}{m}$}，由B ∩ (∁UA)=∅知，-$\frac{1}{m}$ = -1或-$\frac{1}{m}$ = 2，即m = 1或m = -$\frac{1}{2}$，综上所述，实数m为0或1或-$\frac{1}{2}$，故选D.

13. (2024·山东青岛期末)设集合$ A = \{ x\mid x + m\geqslant0\} $，$ B = \{ x\mid -1\lt x\lt5\} $，全集$ U = \mathbf{R} $，且$ (\complement_{U}A)\cap B\neq\varnothing $，则实数$ m $的取值范围为{m | m ＜ 1}。

答案： 13.{m | m ＜ 1}
解析　由已知得A={x | x ≥ -m}，则∁UA={x | x ＜ -m}，因为B={x | -1 ＜ x ＜ 5}，且(∁UA) ∩ B ≠ ∅，所以 -m ＞ -1，即m ＜ 1，则实数m的取值范围为{m | m ＜ 1}.

14. (2024·浙江金华期末)已知集合$ A = \{ x\mid -2\leqslant x\leqslant5\} $，$ B = \{ x\mid m + 1\leqslant x\leqslant2m - 1\} $，$ U = \mathbf{R} $。
(1) 若$ A\cap B = \varnothing $，求实数$ m $的取值范围；
(2) 若$ A\cup(\complement_{U}B) = U $，求实数$ m $的取值范围。

答案： 14.解　
(1)由A ∩ B = ∅知：当B = ∅时，m + 1 ＞ 2m - 1得m ＜ 2；当B ≠ ∅时，$\begin{cases} m + 1 ＞ 5 \\ m + 1 \leq 2m - 1 \end{cases}$或$\begin{cases} 2m - 1 ＜ -2 \\ m + 1 \leq 2m - 1 \end{cases}$，解得m ＞ 4.综上，m的取值范围为{m | m ＜ 2或m ＞ 4}.
(2)因为A ∪ (∁UB)=U，所以A ∪ B = A，所以B ⊆ A，当B = ∅时，m + 1 ＞ 2m - 1，解得m ＜ 2；当B ≠ ∅时，$\begin{cases} m + 1 \geq -2 \\ 2m - 1 \leq 5 \\ m + 1 \leq 2m - 1 \end{cases}$，解得2 ≤ m ≤ 3.综上可得m ≤ 3，即m的取值范围是{m | m ≤ 3}.

15. (2025·陕西西安期末)已知集合$ A = \{ x\mid x^{2}-2x + 9 - a = 0\} $，$ B = \{ x\mid ax^{2}-4x + 1 = 0, a\neq0\} $，若集合$ A $，$ B $中至少有一个非空集合，则实数$ a $的取值范围是{a | a ＜ 0或0 ＜ a ≤ 4或a ≥ 8}。

答案： 15.{a | a ＜ 0或0 ＜ a ≤ 4或a ≥ 8}
解析　当集合A，B都是空集时，对于A，由Δ = 4 - 4(9 - a) ＜ 0，解得a ＜ 8；对于B，由Δ = 16 - 4a ＜ 0，解得a ＞ 4，综上，4 ＜ a ＜ 8.
∴当集合A，B中至少有一个非空集合时，a ≥ 8或a ≤ 4，又a ≠ 0，
∴实数a的取值范围是{a | a ＜ 0或0 ＜ a ≤ 4或a ≥ 8}.