《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

14. 设$ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，$ xy = x + 4y + a $，其中$ a $为参数。
(1) 当$ a = 0 $时，求$ x + y $的最小值；
(2) 当$ a = 5 $时，求$ \frac{1}{x - 4} + \frac{1}{y - 1} $的最小值。

答案： 14.解
(1)当$a = 0$时，$xy = x + 4y$，
$\because x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$\therefore \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 1$，
$\therefore x + y = (x + y)(\frac{4}{x} + \frac{1}{y}) = 5 + \frac{x}{y} + \frac{4y}{x} \geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{x}{y} · \frac{4y}{x}} = 9$，
当且仅当$x = 2y = 6$时，等号成立，因此$x + y$的最小值为9.
(2)当$a = 5$时，由$xy = x + 4y + 5$可得$y(x - 4) = x + 5$，
由$x ＞ 0$，$y = \frac{x + 5}{x - 4} ＞ 0$可得$x ＞ 4$，
易得$y = \frac{9}{x - 4} + 1$，则$(y - 1)(x - 4) = 9$，
故$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{y - 1} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{x - 4} · \frac{1}{y - 1}} = 2\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{2}{3}$，当且仅当$\frac{1}{y - 1} = \frac{1}{x - 4}$，即$x = 7$，$y = 4$时，等号成立，
因此$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{y - 1}$的最小值为$\frac{2}{3}$.

15. 已知正实数$ x $，$ y $满足$ x + y = 4 $。
(1) 是否存在正实数$ x $，$ y $，使得$ xy = 5 $？若存在，求出$ x $，$ y $的值；若不存在，请说明理由。
(2) 求证：$ \frac{1}{x + 1} + \frac{4}{y + 2} \geq \frac{9}{7} $，并说明等号成立的条件。

答案： 15.解
(1)不存在.理由如下：因为正实数$x$，$y$满足$x + y = 4$，
所以$4 = x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$，所以$xy \leqslant 4$.
故不存在正实数$x$，$y$，使得$xy = 5$.
(2)证明：由$x + y = 4$得$(x + 1) + (y + 2) = 7$，
又因为$x$，$y$都是正实数，
所以$\frac{1}{x + 1} + \frac{4}{y + 2} = \frac{1}{7} × [(x + 1) + (y + 2)] · (\frac{1}{x + 1} + \frac{4}{y + 2}) = \frac{1}{7}[5 + \frac{y + 2}{x + 1} + \frac{4(x + 1)}{y + 2}] \geqslant \frac{1}{7}[5 + 2\sqrt{\frac{y + 2}{x + 1} · \frac{4(x + 1)}{y + 2}}] = \frac{9}{7}$，
当且仅当$\frac{y + 2}{x + 1} = \frac{4(x + 1)}{y + 2}$时等号成立，
又因为$x + y = 4$，
所以当$x = \frac{4}{3}$，$y = \frac{8}{3}$时等号成立.