《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 下列有关数列的说法正确的是 （ ）
A. 同一数列的任意两项均不可能相同
B. 数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列
C. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D. 数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列

答案： D 无穷个3构成的常数数列3,3,3, …的各项都是3，故A错误；数列−1,0,1与数列1,0, −1项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；{1,3,5,7}是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2,5,2,5, …,2,5, …中的项有无穷多个，所以是无穷数列，故D正确. 故选D.

2.（2023·四川树德中学期中）已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝sin$\frac{n\pi }{3}$，则a_{2 023}的值为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. 0
C. －$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： A 由题意得$a_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},a_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},a_{3}=0,a_{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2},a_{5}=-\frac{\sqrt{3}}{2},a_{6}=0,a_{7}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cdots$，所以数列$\{a_{n}\}$的周期为6，又$2023 = 6×337 + 1$，所以$a_{2023}=a_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3.（2024·河南南阳一中月考）已知数列$\sqrt{2}$，2，2$\sqrt{2}$，4，…，则16$\sqrt{2}$是这个数列的 （ ）
A. 第8项
B. 第9项
C. 第10项
D. 第11项

答案： B 将数列改写为$\sqrt{2},(\sqrt{2})^{2},(\sqrt{2})^{3},(\sqrt{2})^{4},\cdots$，由此可归纳该数列的通项公式为$a_{n}=(\sqrt{2})^{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$. 又$16\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{9}$，所以$16\sqrt{2}$是这个数列的第9项. 故选B.

4.（多选）已知数列{a_n}的前4项分别为1，0，1，0，则下列通项公式可以作为数列{a_n}的通项公式的是 （ ）
A. a_n＝$\frac{1}{2}$[1＋（－1）^n＋1]
B. a_n＝sin²$\frac{n\pi }{2}$
C. a_n＝$\left\{\begin{array}{l}1,n为奇数，\\ 0,n为偶数\end{array}\right.$
D. a_n＝$\frac{1}{2}$[1＋（－1）^n＋1]＋（n－1）（n－2）

答案： ABC 对于A，$a_{1}=\frac{1}{2}\times(1 + 1)=1,a_{2}=\frac{1}{2}\times(1 - 1)=0,a_{3}=\frac{1}{2}\times(1 + 1)=1,a_{4}=\frac{1}{2}\times(1 - 1)=0$，符合；
对于B，$a_{1}=\sin^{2}\frac{\pi}{2}=1,a_{2}=\sin^{2}\pi=0,a_{3}=\sin^{2}\frac{3\pi}{2}=1,a_{4}=\sin^{2}2\pi=0$，符合；
对于C，$a_{1}=1,a_{2}=0,a_{3}=1,a_{4}=0$，符合；
对于D，$a_{1}=\frac{1}{2}\times(1 + 1)+0\times(-1)=1,a_{2}=\frac{1}{2}\times(1 - 1)+1\times0=0,a_{3}=\frac{1}{2}\times(1 + 1)+2\times1=3,a_{4}=\frac{1}{2}\times(1 - 1)+3\times2=6$，不符合. 故选ABC.

5. 下列各数中，是数列{n²＋4}中的项的是 （ ）
A. 90
B. 29
C. 30
D. 23

答案： B 令$n^{2}+4 = 29$，即$n^{2}=25$，解得$n = 5$或$n=-5$(舍去)，则29是数列$\{n^{2}+4\}$中的第5项. 故选B.

6. 观察数列2¹，ln 2，cos 3，2⁴，ln 5，cos 6，2⁷，ln 8，cos 9，…，则该数列的第20项为 （ ）
A. 2²⁰
B. 20
C. ln 20
D. cos 20

答案： C 观察数列，可知数列中的项中的指数、真数、弧度数是按1,2,3, …排列的，且以3为周期依次取指数值、对数值、余弦值，因为$20 = 6×3+2$，所以第20项为$\ln20$. 故选C.

7. 数列{a_n}的通项公式为a_n＝log_（n＋1）（n＋2），则它前14项的积为________．

答案： 4
解析 $\log_{2}3\times\log_{3}4\times\log_{4}5\times\cdots\times\log_{15}16=\log_{2}16 = 4$.

8. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}$，则$\sqrt{10}$－3是此数列的第________项．

答案： 9
解析 $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$，$\because\sqrt{10}-3=\sqrt{9 + 1}-\sqrt{9}$，$\therefore\sqrt{10}-3$是数列$\{a_{n}\}$的第9项.

9. 根据下列数列{a_n}的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象．
（1）a_n＝$\frac{1}{2}$n－1；（2）a_n＝sin$\frac{(n + 2)\pi }{2}$．

答案：
解 （1）当通项公式中的$n = 1,2,3,4,5$时，数列$\{a_{n}\}$的前5项依次为$-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}$. 图象如图1所示.

（2）当通项公式中的$n = 1,2,3,4,5$时，数列$\{a_{n}\}$的前5项依次为−1,0,1,0, −1. 图象如图2所示.

10. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝$\frac{n^{2}-21n}{2}$．
（1）判断0和1是不是数列{a_n}的项，若是，指出是第几项；若不是，请说明理由．
（2）判断数列{a_n}中是否存在连续且相等的两项，若存在，指出分别是哪两项；若不存在，请说明理由．

答案： 解 （1）令$a_{n}=0$，得$n^{2}-21n = 0$，
所以$n = 21$或$n = 0$(舍去)，所以0是数列$\{a_{n}\}$的项，且是第21项.
令$a_{n}=1$，得$\frac{n^{2}-21n}{2}=1$，该方程无正整数解，
所以1不是数列$\{a_{n}\}$的项.
（2）解法一：假设存在连续且相等的两项$a_{m},a_{m + 1},m\in\mathbf{N}^{*}$，则有$a_{m}=a_{m + 1}$，
即$\frac{m^{2}-21m}{2}=\frac{(m + 1)^{2}-21(m + 1)}{2}$，解得$m = 10$，
所以数列$\{a_{n}\}$中存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.
解法二：令$f(x)=\frac{x^{2}-21x}{2}$，则其图象的对称轴为直线$x = 10.5$，所以$f(10)=f(11)$，即$a_{10}=a_{11}$，所以数列$\{a_{n}\}$中存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.