《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 设$ A $是方程$ x^2 + ax + b = 0 $的解组成的集合。
（1）若方程无实数解，求实数$ a $，$ b $满足的关系式；
（2）若$ 1 \in A $，$ 3 \in A $，求实数$ a $，$ b $的值。

答案： 10.解
(1)若方程$x^{2}+ax+b=0$无实数解，则$\Delta=a^{2}-4b＜0$，即实数$a$，$b$满足$a^{2}-4b＜0$.
(2)由题意可知1，3是方程$x^{2}+ax+b=0$的两根，由根与系数的关系得$\begin{cases}1+3=-a,\\1×3=b,\end{cases}$即$a=-4$，$b=3$.

11. (新定义题)(多选)若集合$ A $具有以下三个条件，则称集合$ A $为一个“封闭集合”，①若$ \forall x, y \in A $，则$ x - y \in A $；②若$ \forall x, y \in A $，则$ xy \in A $；③若$ \forall x, y \in A $，则$ x + y \in A $。据此判断下列集合是封闭集合的有 (ABD)

A.$ \mathbf{R} $
B.$ \mathbf{Z} $
C.$ \mathbf{N} $
D.$ \mathbf{Q} $

答案： 11.ABD 对A，任意两个实数的和、差、积仍是实数，故R是封闭集合，故A正确；对B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故Z是封闭集合，故B正确；对C，取$x=3$，$y=4$，则$x-y=-1\notin N$，故N不是封闭集合，故C错误；对D，任意两个有理数的和、差、积仍是有理数，故Q是封闭集合，故D正确.故选ABD.

12. (2024·河北唐山一中月考)若关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + 2(a + 1)x + 4 = 0 $的解集为单元素集合，则 (B)

A.$ a = 0 $
B.$ a = 1 $
C.$ a = 0 $或$ a = 1 $
D.$ a \neq 0 $且$ a \neq 1 $

答案： 12.B 当$a=0$时，方程不是一元二次方程，舍去；当$a\neq0$时，方程$ax^{2}+2(a+1)x+4=0$的解集为单元素集合，即方程$ax^{2}+2(a+1)x+4=0$有两个相等的实根，$\therefore\Delta=[2(a+1)]^{2}-16a=0$，解得$a=1$.综上，$a=1$.

13. (开放题)已知集合$ M $中含有$ 2 $个元素$ x + 1 $，$ x^2 - 2x - 3 $，写出一个满足条件的$ x = $1。

答案： 13.1(答案不唯一) 解析 由集合中元素的互异性可知$x+1\neq x^{2}-2x-3$，解得$x\neq-1$且$x\neq4$，当$x=1$时，$x+1=2$，$x^{2}-2x-3=-4$满足题意.

14. 若由$ a $，$ \dfrac{b}{a} $，$ 1 $组成的集合$ A $与由$ a^2 $，$ a + b $，$ 0 $组成的集合$ B $相等，则$ a^{\number{2025}} + b^{\number{2026}} $的值为$-1$。

答案： 14.$-1$ 解析 由$a$，$\frac{b}{a}$，1是集合A中的元素，可得$a\neq0$且$a\neq1$(否则不满足集合中元素的互异性).
所以$\begin{cases}a=a+b,\frac{b}{a}=0,\end{cases}$或$\begin{cases}a=a^{2},\frac{b}{a}=0,\end{cases}$或$\begin{cases}\frac{b}{a}=a,\frac{b}{a}=a^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=0.\end{cases}$
所以$a^{2025}+b^{2026}=(-1)^{2025}=-1$.

15. 已知集合$ A $是由元素$ x $组成的，其中$ x = m + n\sqrt{2} $，$ m, n \in \mathbf{Z} $。
（1）设$ x_1 = \dfrac{1}{3 - 4\sqrt{2}} $，$ x_2 = \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} $，$ x_3 = (1 - 3\sqrt{2})^2 $，试判断$ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $与$ A $之间的关系；
（2）任取$ x_1 $，$ x_2 \in A $，试判断$ x_1 + x_2 $，$ x_1x_2 $与$ A $之间的关系。

答案： 15.解
(1)$\because x_{1}=\frac{1}{3-4\sqrt{2}}=\frac{3}{23}-\frac{4\sqrt{2}}{23}$，$\therefore x_{1}\notin A$.
$\because x_{2}=\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{9-2\sqrt{8}}=\sqrt{8-2\sqrt{8}+1}=$
$\sqrt{(\sqrt{8}-1)^{2}}=\sqrt{8}-1=-1+2\sqrt{2}$，$\therefore x_{2}\in A$.
$\because x_{3}=(1-3\sqrt{2})^{2}=19-6\sqrt{2}$，$\therefore x_{3}\in A$.
综上，$x_{1}\notin A$，$x_{2}\in A$，$x_{3}\in A$.
(2)任取$x_{1}$，$x_{2}\in A$，设$x_{1}=m_{1}+n_{1}\sqrt{2}$，$x_{2}=m_{2}+n_{2}\sqrt{2}$
$(m_{1}$，$n_{1}$，$m_{2}$，$n_{2}\in Z)$，
则$x_{1}+x_{2}=(m_{1}+n_{1}\sqrt{2})+(m_{2}+n_{2}\sqrt{2})=(m_{1}+m_{2})+$
$(n_{1}+n_{2})\sqrt{2}$，
其中$m_{1}+m_{2}$，$n_{1}+n_{2}\in Z$，$\therefore x_{1}+x_{2}\in A$.
$\because x_{1}x_{2}=(m_{1}+n_{1}\sqrt{2})(m_{2}+n_{2}\sqrt{2})=(m_{1}m_{2}+2n_{1}n_{2})+$
$(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})\sqrt{2}$，
其中$m_{1}m_{2}+2n_{1}n_{2}$，$m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}\in Z$，$\therefore x_{1}x_{2}\in A$.
综上，$x_{1}+x_{2}\in A$，$x_{1}x_{2}\in A$.