《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. (2025·江苏南京期中)已知集合$ M = \{ x | x - 2 ＜ 0, x \in \mathbf{N} \} $，则(D)

A.$ 0 \notin M $
B.$ -1 \in M $
C.$ 1 \subseteq M $
D.$ \{ 1 \} \subseteq M $

答案： 1.D 由已知得$M = \{ 0,1\}$，因此A、B、C错误，D正确.

2. 下列四个集合中，是空集的是(D)

A.$ \{ x | x + 3 = 3 \} $
B.$ \{ (x, y) | y^2 = -x^2, x, y \in \mathbf{R} \} $
C.$ \{ x | x^2 \leq 0 \} $
D.$ \{ x | x^2 - x + 1 = 0, x \in \mathbf{R} \} $

答案： 2.D 对于A，$\{x|x + 3 = 3\} = \{ 0\}$；对于B，$\{(x,y)|y^{2} = - x^{2},x,y \in R\} = \{(0,0)\}$；对于C，$\{x|x^{2} \leq 0\} = \{ 0\}$；对于D，$x^{2} - x + 1 = 0$，$\Delta = (-1)^{2} - 4 = - 3 ＜ 0$，方程无解，$\therefore \{x|x^{2} - x + 1 = 0,x \in R\} = \varnothing$. 故选D.

3. 下列表示集合$ M = \{ -1, 0, 1 \} $和$ N = \{ x | x^2 - x = 0 \} $的关系的 Venn 图正确的是(B)

答案： 3.B 由$N = \{ 1,0\}$，知$N\subsetneqq M$，故选B.

4. (易错题)有下列关系式：①$ \{ a, b \} = \{ b, a \} $，②$ \{ a, b \} \subseteq \{ b, a \} $，③$ \varnothing = \{ \varnothing \} $，④$ \{ 0 \} = \varnothing $，⑤$ \varnothing \subsetneqq \{ 0 \} $，⑥$ 0 \in \{ 0 \} $。其中正确的是(C)

A.①③
B.③④⑤
C.①②⑤⑥
D.③④

答案： 4.C 由集合中元素的性质及集合间的关系，知$\{ a,b\} = \{ b,a\}$，$\{ a,b\} \subseteq \{ b,a\}$，①②正确. 由空集的概念知，$\varnothing \neq \{ \varnothing\}$，$\{ 0\} \neq \varnothing$，$\varnothing \subsetneqq \{ 0\}$，③④错误，⑤正确. 由元素与集合的关系知，$0 \in \{ 0\}$，⑥正确.

5. 已知集合$ A = \left\{ \frac{1}{2}, 3 \right\} $，$ B = \{ x | 2x = a \} $，若$ B \subseteq A $，则$ a $的所有可能取值组成的集合为(A)

A.$ \{ 1, 6 \} $
B.$ \left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{2} \right\} $
C.$ \{ 6 \} $
D.$ \{ 0, 1, 6 \} $

答案： 5.A 依题意得$B = \left\{ \left. \frac{a}{2} \right\}$，所以$B \neq \varnothing$，又因为$B \subseteq A$，所以$\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$或$\frac{a}{2} = 3$，解得$a = 1$或$6$，故$a$的所有可能取值组成的集合为$\{ 1,6\}$.

6. (多选)(2024·湖南长沙期末)已知集合$ A = \{ 0, 1 \} $，$ B = \{ x | x \in A, x \in \mathbf{N} \} $，$ C = \{ x | x \subseteq A \} $，则关于集合$ A $，$ B $，$ C $之间的关系，下列说法正确的有(AC)

A.$ A = B $
B.$ A \subsetneqq B $
C.$ A \in C $
D.$ A \subseteq C $

答案： 6.AC 因为$A = \{ 0,1\}$，所以$B = \{x|x \in A,x \in N\} = \{ 0,1\}$，$C = \{x|x \subseteq A\} = \{ \varnothing,\{ 0\},\{ 1\},\{ 0,1\}\}$，所以有$A = B$成立，$A \subsetneqq B$不成立，$A \in C$成立，$A \subseteq C$不成立，故选AC.

7. (2024·四川遂宁期末)已知$ A = \{ x | -2 ＜ x ＜ 3 \} $，$ B = \{ x | x ＞ a \} $，若$ A \subseteq B $，则$ a $的取值范围是$\{ a|a \leq - 2\}$。

答案： 7.$\{ a|a \leq - 2\}$

8. (开放题)已知集合$ A = \{ a + b, -2 \} $，$ B = \{ -2, ab \} $，则满足$ A = B $的一组有序实数对$ (a, b) $可以为$(2,2)$(答案不唯一)。

答案： 8.$(2,2)$(答案不唯一)
解析 由题意可得$a + b = ab$，即$(a - 1)b = a$，显然$a \neq 1$，所以$b = \frac{a}{a - 1}$，故$(a,b)$可以为$(2,2)$.

9. (链接教材 P8 例 1)已知集合$ A = \{ a - 2, 1, 2 \} $，且$ -3 \in A $，试写出集合$ A $的子集，并指出哪些是集合$ A $的真子集。

答案： 9.解 因为$A = \{ a - 2,1,2\}$，且$- 3 \in A$，所以$a - 2 = - 3$，解得$a = - 1$.
所以集合$A = \{ - 3,1,2\}$，
所以集合A的子集为$\varnothing$，$\{ - 3\}$，$\{ 1\}$，$\{ 2\}$，$\{ - 3,1\}$，$\{ - 3,2\}$，$\{ 1,2\}$，$\{ - 3,1,2\}$. 集合A的真子集为$\varnothing$，$\{ - 3\}$，$\{ 1\}$，$\{ 2\}$，$\{ - 3,1\}$，$\{ - 3,2\}$，$\{ 1,2\}$.