《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 不等式$\frac{9}{x - 2}+(x - 2)\geqslant6$(其中$x\gt2$)中等号
成立的条件是 (A)

A.$x = 5$
B.$x = - 3$
C.$x = 3$
D.$x = - 5$

答案： 1.A 当$x＞2$时，$\frac{9}{x - 2} + (x - 2) \geqslant 2\sqrt{\frac{9}{x - 2} · (x - 2)} = 6$，
等号成立的条件是$\frac{9}{x - 2} = x - 2$，即$(x - 2)^2 = 9$，解得$x = 5$。

2. 下列各式中最小值为$2$的是 (B)

A.$y = t+\frac{1}{t}(t\gt1)$
B.$y=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$
C.$y = t+\frac{1}{t - 1}(t\gt1)$
D.$y = t+\frac{1}{t}+1(t\gt0)$

答案： 2.B A中，$y = t + \frac{1}{t} ＞ 2$；B中，$y = \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} \geqslant 2$，当且仅当$t = 1$
时等号成立；C中，$y = t + \frac{1}{t - 1} = t - 1 + \frac{1}{t - 1} + 1 \geqslant 3$；D中，
$y = t + \frac{1}{t} + 1 \geqslant 3$。

3. (2025·河南洛阳期中)已知$x\gt0,y\gt0$，若
$xy = 3$，则$x + y$的最小值为 (C)

A.$3$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$1$

答案： 3.C 由于$x＞0$，$y＞0$，$xy = 3$，所以$x + y \geqslant 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{3}$，当且
仅当$x = y = \sqrt{3}$时等号成立。所以$x + y$的最小值为$2\sqrt{3}$。故选C。

4. 若$a,b$都是正数，则$\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{4a}{b}\right)$的最小
值为 (C)

A.$5$
B.$7$
C.$9$
D.$13$

答案： 4.C 因为$a$，$b$都是正数，所以$(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{4a}{b}) = 5 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{4a}{b}} = 9$（当且仅当$b = 2a$时等号成立）。故
选C.

5. (多选)已知实数$a,b$，下列不等式一定成立
的是 (CD)

A.$\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$
B.$a+\frac{1}{a}\geqslant2$
C.$\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|\geqslant2$
D.$2(a^{2}+b^{2})\geqslant(a + b)^{2}$

答案： 5.CD 当$a＜0$，$b＜0$时，$\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$不成立，故A不符合题
意；当$a＜0$时，$a + \frac{1}{a} \geqslant 2$不成立，故B不符合题意；
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geqslant 2$，当且仅当$a = \pm b$时，等号
成立，故C符合题意；$\because 2(a^{2} + b^{2}) - (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} -2ab = (a - b)^{2} \geqslant 0$，$\therefore 2(a^{2} + b^{2}) \geqslant (a + b)^{2}$，故D符合题意.
故选CD.

6. 若正数$a,b$满足$a + 3b=\frac{\sqrt{ab}}{ab}$，则$ab$的最大
值为 (A)

A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{12}$

答案： 6.A 由题意得$a + 3b = \frac{\sqrt{ab}}{ab} \geqslant 2\sqrt{3ab}$，则$ab \leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，当
且仅当$a = 3b = 3\sqrt{\frac{1}{6\sqrt{3}}}$时，等号成立，所以$ab$的最大值为
$\frac{\sqrt{3}}{6}$，故选A.

7. 设$x\gt0$，则函数$y = 2+\frac{4}{x}+x$的最小值为
6，此时$x$的值是2。

答案： 7.6 2
解析 由于$x＞0$，故$y = 2 + \frac{4}{x} + x \geqslant 2 + 2\sqrt{\frac{4}{x} · x} = 6$，当
且仅当$\frac{4}{x} = x$，即$x = 2$时取等号，所以当$x = 2$时，$y =2 + \frac{4}{x} + x$取得最小值，为6.

8. 当$x\gt1$时，$x+\frac{4}{x - 1}$的最小值为5。

答案： 8.5 因为$x＞1$，所以$x - 1＞0$，
所以$x + \frac{4}{x - 1} = x - 1 + \frac{4}{x - 1} + 1 \geqslant 2\sqrt{(x - 1) · \frac{4}{x - 1}} + 1 =5$，当且仅当$x - 1 = \frac{4}{x - 1}$，即$x = 3$时等号成立.

9. 已知$x,y$为正实数，$3x + 2y = 10$，求$W=$
$\sqrt{3x}+\sqrt{2y}$的最大值。

答案： 9.解 $\because x$，$y$为正实数，$3x + 2y = 10$，
$\therefore W^{2} = 3x + 2y + 2\sqrt{3x · 2y} \leqslant 10 + (3x + 2y) = 20$，
当且仅当$3x = 2y$，$3x + 2y = 10$，即$x = \frac{5}{3}$，$y = \frac{5}{2}$时，等号
成立.
$\therefore W \leqslant 2\sqrt{5}$，即$W$的最大值为$2\sqrt{5}$.