《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 小于2的自然数集用列举法可以表示为(C)

A.$\{0,1,2\}$
B.$\{1\}$
C.$\{0,1\}$
D.$\{1,2\}$

答案： 1.C 小于2的自然数有0,1，所以用列举法表示集合为$\{0,1\}$。

2. 下列集合中，不同于另外三个集合的是(C)

A.$\{x\mid x=2025\}$
B.$\{y\mid (y-2025)^2=0\}$
C.$\{x=2025\}$
D.$\{2025\}$

答案： 2.C 选项A、B、D中都只有一个元素2025，故它们都是相同的集合，而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式$x=2025$，而不是实数2025，故此集合与其他三个集合不同。

3. 若集合$A=\{2,3,4\}$，$B=\{x\mid x=m· n,m,n\in A,m\neq n\}$，则集合$B$中元素个数为(B)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 3.B 由题意知，B中的元素有$2 × 3=6$，$2 × 4=8$，$3 × 4=12$，因此$B=\{6,8,12\}$。故选B。

4. 下列各组集合中表示同一集合的是(B)

A.$M=\{(3,2)\}$，$N=\{(2,3)\}$
B.$M=\{3,2\}$，$N=\{2,3\}$
C.$M=\{(x,y)\mid x+y=1\}$，$N=\{y\mid x+y=1\}$
D.$M=\{1,2\}$，$N=\{(1,2)\}$

答案： 4.B A中M，N都为点集，元素为点的坐标，顺序不同表示的点不同；B中M，N都为数集，且元素相同；C中M，N分别表示点集和数集；D中M为数集，N为点集。故选B。

5. (易错题)若集合$A=\{x\mid kx^2+4x+4=0\}$中有且仅有一个元素，则(C)

A.$k\in \{0\}$
B.$k\in \{1\}$
C.$k\in \{1,0\}$
D.$k\in \{1,-1\}$

答案： 5.C 当$k=0$时，由$kx^{2}+4x+4=0$，解得$x=-1$，符合题意；当$k \neq 0$时，$kx^{2}+4x+4=0$有两个相等的实根，所以$\Delta=16-16k=0$，解得$k=1$。所以实数k的值为0或1，故选C。

6. (2024·陕西西安期末)已知集合$M=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbf{N}^*,x+y\leqslant 2\}$，则$M$中元素的个数为(A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 6.A 因为$x,y \in N^*$且$x+y \leq 2$，所以$\begin{cases}x=1 \\ y=1\end{cases}$，即集合中只有一个元素$(1,1)$。

7. 若$-5\in \{x\mid x^2-ax-5=0,a\in \mathbf{R}\}$，用列举法表示集合$\{x\mid x^2+ax+3=0,a\in \mathbf{R}\}=$$\{1,3\}$。

答案： 7.$\{1,3\}$
解析 由题意可知，$-5$是方程$x^{2}-ax-5=0$的一个根，则$(-5)^{2}+5a-5=0$，解得$a=-4$，代入方程$x^{2}+ax+3=0$，得$x^{2}-4x+3=0$，解得$x=1$或$x=3$，所以$\{x \mid x^{2}+ax+3=0,a \in R\}=\{1,3\}$。

8. 已知集合$M=\{x\mid (x-a)(x^2-ax+a-1)=0\}$的各元素之和等于3，则实数$a=$2或$\frac{3}{2}$。

答案： 8.2或$\frac{3}{2}$
解析 方程$(x-a)(x^{2}-ax+a-1)=0$的解为$x_1=a$，$x_2=a-1$，$x_3=1$；
若$a=1$，则$M=\{1,0\}$，不能满足M中各元素之和为3；
若$a-1=1$，则$M=\{2,1\}$，元素和为3；
若$a \neq 1$，且$a \neq 2$，则$M=\{a,a-1,1\}$，
$\therefore a+a-1+1=3$，解得$a=\frac{3}{2}$。
综上，$a=2$或$a=\frac{3}{2}$。

9. （链接教材P5练习T3）用适当的方法表示下列集合：
（1）集合$P=\{x\mid x=2n,0\leqslant n\leqslant 2$且$n\in \mathbf{N}\}$；
（2）抛物线$y=x^2-2x$与$x$轴的公共点组成的集合；
（3）直线$y=x$上除原点外的点组成的集合。

答案： 9.解
(1)因为$0 \leq n \leq 2,n \in N$，所以$n=0,1,2$，$x=0,2,4$，故用列举法表示为$P=\{0,2,4\}$。
(2)用描述法表示为$\{(x,y) \mid \begin{cases} y=x^{2}-2x \\ y=0 \end{cases}\}$
(3)用描述法表示为$\{(x,y) \mid y=x,x \neq 0\}$。