《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 下列图象对应的函数没有零点的是 (B)

答案： 1.B　函数图象与x轴无交点即函数没有零点.故选B.

2. (2024·北京通州期末)函数$ f(x)=(x^2 - 1)\ln x $的零点为 (A)

A.1
B.1或-1
C.e
D.e或-e

答案： 2.A　$f(x)=(x^{2}-1)\ln x$的定义域为$(0,+\infty)$.令$f(x)=(x^{2}-1)\ln x=0$,得$x^{2}-1=0$或$\ln x=0$,解得$x=1$或$x=-1$(舍去).

3. (多选)若函数$ f(x) $的图象在$ \mathbf{R} $上连续不断，且满足$ f(0) \lt 0,f(1) \gt 0,f(2) \gt 0 $，则下列说法正确的是 (AC)

A.$ f(x) $在区间$ (0,1) $内一定有零点
B.$ f(x) $在区间$ (0,1) $内一定没有零点
C.$ f(x) $在区间$ (1,2) $内可能有零点
D.$ f(x) $在区间$ (1,2) $内一定有零点

答案： 3.AC　因为$f(0)＜0,f(1)＞0,f(2)＞0$,所以$f(0)f(1)＜0$,因为函数$f(x)$的图象在$\mathbf{R}$上连续不断，由函数零点存在定理，可得$f(x)$在区间$(0,1)$内一定有零点.又$f(1)f(2)＞0$,因此无法判断$f(x)$在区间$(1,2)$内是否有零点.

4. (2025·江苏南通期末)函数$ f(x)=x + 2^x $的零点所在区间是 (B)

A.$ (-2,-1) $
B.$ (-1,0) $
C.$ (0,1) $
D.$ (1,2) $

答案： 4.B　因为函数$y=x$,$y=2^{x}$均为$\mathbf{R}$上的增函数,所以函数$f(x)=x+2^{x}$为$\mathbf{R}$上的增函数,因为$f(-1)=-1+2^{-1}=-\frac{1}{2}＜0$,$f(0)=1＞0$,所以由函数零点存在定理可知，函数$f(x)=x+2^{x}$的零点所在区间是$(-1,0)$.

5. 若函数$ f(x)=2^x - \frac{2}{x} - a $存在1个零点位于$ (1,2) $内，则$ a $的取值范围是 (A)

A.$ (0,3) $
B.$ (-3,3) $
C.$ [-3,3] $
D.$ (-3,0) $

答案： 5.A　$\because$函数$f(x)=2^{x}-\frac{2}{x}-a$存在$1$个零点位于$(1,2)$内，$f(x)=2^{x}-\frac{2}{x}-a$在$(1,2)$内单调递增，$\therefore f(1)=2^{1}-\frac{2}{1}-a＜0$,$f(2)=2^{2}-\frac{2}{2}-a＞0$,$\therefore0＜a＜3$.

6. 函数$ f(x)=\ln|x - 2| + x^2 $与$ g(x)=4x $的图象的所有交点的横坐标之和为 (D)

A.0
B.2
C.3
D.4

答案： 6.D　函数$f(x)=\ln|x-2|+x^{2}$与$g(x)=4x$的图象的交点的横坐标之和,可以转化为方程$\ln|x-2|=4x-x^{2}$的根之和.$y=\ln|x-2|$和$y=4x-x^{2}$的图象均关于直线$x=2$对称，且两个图象有$2$个交点，则两个交点横坐标之和为$4$.

7. 已知函数$ f(x)=\frac{2}{3^x + 1} + a $的零点为1，则实数$ a $的值为$-\frac{1}{2}$。

答案： 7.$-\frac{1}{2}$
解析　由已知得$f(1)=0$,即$f(1)=\frac{2}{3^{1}+1}+a=0$,解得$a=-\frac{1}{2}$.

8. (开放题)函数$ f(x) $的图象在区间$ (0,2) $上连续不断，写出一个能说明“若$ f(x) $在区间$ (0, 2) $上存在零点，则$ f(0)f(2) \lt 0 $”为假命题的$ f(x)=$$(x-1)^{2}$(答案不唯一)$ $。

答案： 8.$(x-1)^{2}$(答案不唯一)
解析　由题意，得函数$f(x)$在$(0,2)$上存在零点，且$f(0)f(2)\geqslant0$,所以$f(x)$可以为$f(x)=(x-1)^{2}$.

9. 已知$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的奇函数，当$ x \geq 0 $时，$ f(x)= -x^2 + x $。
(1)求函数$ f(x) $的解析式；
(2)求函数$ y = f(x) $的零点。

答案： 9.解　
(1)设$x＜0$,则$-x＞0$,所以$f(-x)=-x^{2}-x$,
因为$f(x)$为奇函数,所以$f(-x)=-f(x)$,
所以$f(x)=x^{2}+x$,
故$f(x)$的解析式为$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+x,x\geqslant0,\\x^{2}+x,x＜0.\end{cases}$
(2)由$f(x)=0$,得$\begin{cases}-x^{2}+x=0,\\x\geqslant0,\end{cases}$或$\begin{cases}x^{2}+x=0,\\x＜0,\end{cases}$解得$x=1$或$x=0$或$x=-1$,所以$y=f(x)$的零点是$-1,0,1$.