《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

11. 在平面直角坐标系内，角$\alpha$，$\beta$的顶点均在坐标原点，始边均与$x$轴非负半轴重合，且终边在同一直线上，则角$\beta$与$\alpha$的关系为 (D)

A.$\beta = \alpha + k·360°(k\in\mathbf{Z})$
B.$\beta = \alpha + (2k - 1)·180°(k\in\mathbf{Z})$
C.$\beta = -\alpha + k·360°(k\in\mathbf{Z})$
D.$\beta = \alpha + k·180°(k\in\mathbf{Z})$

答案： 11.D 当α，β的终边重合时，有$\beta = k · 360^{\circ}+\alpha$，$k \in \mathbf{Z}$；当α，β的终边方向相反时，有$\beta = (2k + 1) · 180^{\circ}+\alpha$，$k \in \mathbf{Z}$.综上，有$\beta = \alpha + k · 180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$，故选D.

12. 已知集合$M = \left\{\beta|\beta = \frac{k·180°}{2}\pm45°,k\in\mathbf{Z}\right\}$，$P = \left\{\beta|\beta = \frac{k·180°}{4}\pm90°,k\in\mathbf{Z}\right\}$，则$M$与$P$之间的关系为 (B)

A.$M = P$
B.$M\subseteq P$
C.$M\supseteq P$
D.$M\cap P=\varnothing$

答案： 12.B $\beta = \frac{k·180^{\circ}}{2}\pm45^{\circ}=k·90^{\circ}\pm45^{\circ}=(2k\pm1)·45^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$；$\beta = \frac{k·180^{\circ}}{4}\pm90^{\circ}=k·45^{\circ}\pm90^{\circ}=(k\pm2)·45^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$，$\therefore M \subseteq P$.

13. (多选)(2025·河北石家庄期中)若$\alpha$是第三象限角，则$180° - \frac{\alpha}{2}$可能是 (AC)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 13.AC 由于α是第三象限角，故$180^{\circ}+k·360^{\circ}＜\alpha＜270^{\circ}+k·360^{\circ} , k \in \mathbf{Z}$，所以$90^{\circ}+k·180^{\circ}＜\frac{\alpha}{2}＜135^{\circ}+k·180^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$，所以$45^{\circ}-k·180^{\circ}＜180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}＜90^{\circ}-k·180^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$.当k为偶数时，$180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$为第一象限角；当k为奇数时，$180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$为第三象限角.所以$180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$可能是第一象限角，也可能是第三象限角.

14. 如果角$\alpha$与$x + 45°$具有相同的终边，角$\beta$与$x - 45°$具有相同的终边，那么角$\alpha$与角$\beta$之间满足的等量关系是$\alpha - \beta = 90^{\circ}+k·360^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$.

答案： 14.$\alpha - \beta = 90^{\circ}+k·360^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$
解析 因为角α与$x + 45^{\circ}$具有相同的终边，所以$\alpha = x + 45^{\circ}+k_1·360^{\circ}$，$k_1 \in \mathbf{Z}$.又角β与$x - 45^{\circ}$具有相同的终边，所以$\beta = x - 45^{\circ}+k_2·360^{\circ}$，$k_2 \in \mathbf{Z}$，所以$\alpha - \beta = 90^{\circ}+(k_1 - k_2)·360^{\circ}$，$k_1$，$k_2 \in \mathbf{Z}$.令$k = k_1 - k_2$，$k \in \mathbf{Z}$，则$\alpha - \beta = 90^{\circ}+k·360^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$.

15. 如图，点$A$在半径为$1$且圆心在原点的圆上，$\angle AOx = 45°$，点$P$从点$A$处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转。已知点$P$在$1$秒内转过的角度为$\theta(0°\lt\theta\lt180°)$，经过$2$秒钟到达第三象限，经过$14$秒钟又回到出发点$A$，求$\theta$，并判断$\theta$的终边所在的象限。

答案： 15.解 根据题意知，14秒钟后，点P在角$14\theta + 45^{\circ}$的终边上，
$\therefore 45^{\circ}+k·360^{\circ}=14\theta + 45^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$.
又$180^{\circ}＜2\theta + 45^{\circ}＜270^{\circ}$，即$67.5^{\circ}＜\theta＜112.5^{\circ}$，
$\therefore 67.5^{\circ}＜\frac{k·180^{\circ}}{7}＜112.5^{\circ}$.
又$k \in \mathbf{Z}$，$\therefore k = 3$或4，$\therefore$所求的θ的值为$\frac{540^{\circ}}{7}$或$\frac{720^{\circ}}{7}$.
$\because 0^{\circ}＜\frac{540^{\circ}}{7}＜90^{\circ}$，$90^{\circ}＜\frac{720^{\circ}}{7}＜180^{\circ}$，$\therefore$θ的终边在第一象限或第二象限.