《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. （2024·浙江嘉兴期中）已知函数$f(x) = \log$${a}\frac{1 - mx}{x + 1}(a ＞ 0$且$a\neq 1$，$m\neq - 1)$是定义在$(-1,1)$上的奇函数。
(1) 求$f(0)$和实数$m$的值；
(2) 若$f(x)$在$(-1,1)$上是增函数且满足$f(b - 2) + f(2b - 2) ＞ 0$，求实数$b$的取值范围。

答案： 10.解$ (1)f(0)=\log_{a}1 = 0.$
∵f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x)，即f(-x)+f(x)=0，
∴$\log_{a}\frac{mx + 1}{-x + 1}+\log_{a}\frac{1 - mx}{x + 1}=0，$
∴$\log_{a}(\frac{mx + 1}{-x + 1}·\frac{1 - mx}{x + 1}) = 0，$则$\frac{mx + 1}{-x + 1}·\frac{1 - mx}{x + 1}=1，$
∴$1 - m^{2}x^{2}=1 - x^{2}$对定义域内的x都成立.
∴$m^{2}=1.$
∴m = 1或m = -1(舍)，
∴m = 1.
(2)由f(b - 2)+f(2b - 2) ＞ 0，得f(b - 2) ＞ -f(2b - 2)，
∵函数f(x)是奇函数，
∴f(b - 2) ＞ f(2 - 2b)，
又
∵f(x)在(-1,1)上是增函数，
∴$\begin{cases}b - 2＞2 - 2b,\\-1 ＜ b - 2 ＜ 1,\\-1 ＜ 2 - 2b ＜ 1,\end{cases}$
∴$\frac{4}{3}＜b＜\frac{3}{2}，$
∴实数b的取值范围是$(\frac{4}{3},\frac{3}{2}).$

11. 函数$f(x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$的奇偶性为(A)

A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数

答案： 11.A 易知该函数的定义域为R，又f(x)+f(-x) =
$\lg(\sqrt{x^{2}+1}+x)+\lg(\sqrt{x^{2}+1}-x)=\lg[(\sqrt{x^{2}+1}+$
$x)·(\sqrt{x^{2}+1}-x)]=\lg1 = 0，$
∴f(x)=-f(-x)，
∴f(x)为奇函数.

12. 若偶函数$f(x) = \log$${a}|x - b|$在$(-\infty,0)$上单调递增，则$f(a + 1)$与$f(b + 2)$的大小关系是(D)

A.$f(a + 1) ＜ f(b + 2)$
B.$f(a + 1) \leq f(b + 2)$
C.$f(a + 1) \geq f(b + 2)$
D.$f(a + 1) ＞ f(b + 2)$

答案： 12.D 因为函数f(x)是偶函数，所以b = 0，又函数在$(-\infty,$
0)上单调递增，所以函数在$(0,+\infty)$上单调递减，则0 ＜ a ＜
1，所以1 ＜ a + 1 ＜ 2.因为$f(a + 1)=\log_{a}$|a + 1|，
$f(b + 2)=\log_{a}2，$且1 ＜ a + 1 ＜ 2，所以f(a + 1) ＞ f(b + 2).

13. 如图，已知正方形$ABCD$的边长为$2$，$BC$平行于$x$轴，顶点$A$，$B$和$C$分别在函数$y_{1} = 3\log$${a}x$，$y_{2} = 2\log$${a}x$和$y = \log$${a}x(a ＞ 1)$的图象上，则实数$a = $_________$$。

答案： $13.\sqrt{2}$
解析 设$B(x,2\log_{a}x)，$
∵BC平行于x轴，
∴$C(x',2\log_{a}x)，$
即$\log_{a}x' = 2\log_{a}x，$
∴$x' = x^{2}，$
∴正方形ABCD的边长
|BC|$ = x^{2}-x = 2，$解得x = 2.由已知得AB垂直于x轴，
∴$A(x,3\log_{a}x)，$正方形ABCD的边长|AB|$ = 3\log_{a}x -$
$2\log_{a}x = \log_{a}x = 2，$即$\log_{a}2 = 2，$
∴$a = \sqrt{2}.$

14. （2024·山东泰安期中）已知函数$f(x) = \lg (a· 9^{x} + 3^{x} - 1)$。
(1) 如果$x\in (0,1)$时，$f(x)$有意义，求实数$a$的取值范围；
(2) 当$a \leq 0$时，$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$，求实数$a$的值；
(3) 在(2)的条件下，若$g(x) = 10^{f(x)} + 1$，解关于$x$的不等式$g(x^{2} + tx - 2t) \geq g(2x)$。

答案： 14.解
(1)当$x\in(0,1)$时，$a·9^{x}+3^{x}-1 ＞ 0，$即$a ＞ (\frac{1}{9})^{x}-$
$(\frac{1}{3})^{x}，$令$u = (\frac{1}{3})^{x}，$$\frac{1}{3}$＜u＜1，则a ＞$ u^{2}-u$恒成立，
$u^{2}-u=(u-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}，$$(u^{2}-u)_{\max}＜\frac{1}{4}-1 = 0，$故a的取
值范围为$[0,+\infty).$
(2)令$h(x)=a·9^{x}+3^{x}-1，$由f(x)的值域为R，得h(x)的值域包含$(0,+\infty).$
①当a = 0时，$h(x)=3^{x}-1，$其值域为$(-1,+\infty)，$满足条件；
②当a ＜ 0时，h(x)=a·9^{x}+3^{x}-1，令t = 3^{x}，t ＞ 0，y =
$at^{2}+t - 1 = a(t+\frac{1}{2a})-1-\frac{1}{4a}，$
函数图象为开口向下的抛物线，h(x)的值域为
$(-\infty,-1-\frac{1}{4a})，$不满足条件.
综上所述，a = 0.
$(3)f(x)=\lg(3^{x}-1)，$定义域为$(0,+\infty)，$$g(x)=10^{f(x)}+$
$1 = 3^{x}$为增函数，
因为$g(x^{2}+tx - 2t)\geq g(2x)，$所以$x^{2}+tx - 2t\geq2x ＞ 0，$
即$x^{2}+(t - 2)x - 2t=(x - 2)(x + t)\geq0，$且x ＞ 0，
当t ＜ -2时，解集为$\{x|0 ＜ x\leq2或x\geq - t\}；$
当t = -2时，解集为\{x|x ＞ 0\}；
当-2 ＜ t ＜ 0时，解集为$\{x|0 ＜ x\leq - t或x\geq2\}；$
当$t\geq0$时，解集为$\{x|x\geq2\}.$

15. (2024·广东广州期末)函数$f(x) = \log$${a}(x + 1) + \log$${a}(1 - x)(a ＞ 0$且$a\neq 1$，$x\in \left[0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$)，若$f(x)_{\max} - f(x)_{\min} = 1$，则$a$的值为(C)

A.$4$
B.$4$或$\frac{1}{4}$
C.$2$或$\frac{1}{2}$
D.$2$

答案： 15.C 由题意得$f(x)=\log_{a}(x + 1)+\log_{a}(1 - x)=\log_{a}(1 - x^{2})，$
$x\in[0,\frac{\sqrt{2}}{2}]，$令$t = 1 - x^{2}，$则$t\in[\frac{1}{2},1]，$则函数f(x) =
$\log_{a}(1 - x^{2})，$即为$g(t)=\log_{a}t，$
当a ＞ 1时，$g(t)=\log_{a}t$在$[\frac{1}{2},1]$上单调递增，由
$f(x)_{\max}-f(x)_{\min}=1，$可得$\log_{a}1-\log_{a}\frac{1}{2}=1，$
∴a = 2；
当0 ＜ a ＜ 1时，$g(t)=\log_{a}t$在$[\frac{1}{2},1]$上单调递减，由
$f(x)_{\max}-f(x)_{\min}=1，$可得$\log_{a}\frac{1}{2}-\log_{a}1 = 1，$
∴$a = \frac{1}{2}.$故
a的值为2或$\frac{1}{2}，$故选C.