《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. (2024·湖南衡阳期中)若$ x ＞ -2 $，则$ y = x + \frac{1}{x + 2} $的最小值为 (B)

A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 1.B 因为$x ＞ - 2$，所以$x + 2 ＞ 0$，则$y = x + \frac{1}{x + 2} = x + 2 + \frac{1}{x + 2} - 2 \geqslant 2\sqrt{(x + 2) · \frac{1}{x + 2}} - 2 = 0$，当且仅当$x + 2 = \frac{1}{x + 2}$，即$x = - 1$时，等号成立.

2. 若$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ a + 3b = 1 $，则$ \frac{1}{a} + \frac{1}{3b} $的最小值是 (B)

A.$2$
B.$4$
C.$3$
D.$8$

答案： 2.B 由题意知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a + 3b = 1$，故$(\frac{1}{a} + \frac{1}{3b})(a + 3b) = 2 + \frac{3b}{a} + \frac{a}{3b} \geqslant 2 + 2\sqrt{\frac{3b}{a} · \frac{a}{3b}} = 4$，当且仅当$\frac{3b}{a} = \frac{a}{3b}$，
即$\begin{cases} a + 3b = 1, \\ \frac{3b}{a} = \frac{a}{3b} \end{cases}$解得$\begin{cases} a = \frac{1}{2}, \\ b = \frac{1}{6} \end{cases}$
即当且仅当$a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{1}{6}$时，$\frac{1}{a} + \frac{1}{3b}$取到最小值4.

3. (2025·山西晋中期中)已知$ 0 ＜ x ＜ 2 $，则$ y = 2x\sqrt{4 - x^2} $的最大值为 (B)

A.$2$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 3.B 因为$0 ＜ x ＜ 2$，所以$4 - x^{2} ＞ 0$，所以$y = 2x\sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{x^{2}(4 - x^{2})} \leqslant 2\sqrt{\frac{x^{2} + 4 - x^{2}}{2}^{2}} = 4$，当且仅当$x^{2} = 4 - x^{2}$时取等号，由$0 ＜ x ＜ 2$，解得$x = \sqrt{2}$，即当且仅当$x = \sqrt{2}$时，$y$取得最大值4.故选B.

4. 设$ a ＞ 0 $，不等式$ x + \frac{a}{x} \leq -6 $对$ x ＜ 0 $恒成立，则$ a $的最小值是 (C)

A.$1$
B.$4$
C.$9$
D.$16$

答案： 4.C 因为$a ＞ 0$，$x ＜ 0$，所以$x + \frac{a}{x} = - ( - x + \frac{a}{- x}) \leqslant - 2\sqrt{- x · \frac{a}{- x}} = - 2\sqrt{a}$，当且仅当$- x = \frac{a}{- x}$，即$x = - \sqrt{a}$时取等号，所以$- 2\sqrt{a} \leqslant - 6$，即$a \geqslant 9$，所以$a$的最小值是9.

5. 若$ x ＞ -1 $，则$ \frac{2x^2 + 4x + 4}{x + 1} $的最小值为 (D)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 5.D $\frac{2x^{2} + 4x + 4}{x + 1} = \frac{2(x + 1)^{2} + 2}{x + 1} = 2(x + 1) + \frac{2}{x + 1}$，
$\because x ＞ - 1$，$\therefore x + 1 ＞ 0$，
$\therefore 2(x + 1) + \frac{2}{x + 1} \geqslant 2\sqrt{2(x + 1) · \frac{2}{x + 1}} = 4$，当且仅当$2(x + 1) = \frac{2}{x + 1}$，即$x = 0$时取等号，故其最小值是4，故选D.

6. 若正数$ x $，$ y $满足$ x + 4y - xy = 0 $，则$ \frac{3}{x + y} $的最大值为 (A)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$1$

答案： 6.A 由$x + 4y - xy = 0$，得$x + 4y = xy$，
则$\frac{1}{y} + \frac{4}{x} = 1$.求$\frac{3}{x + y}$的最大值，即求$\frac{x + y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{y}{3}$的最小值，
所以$(\frac{x}{3} + \frac{y}{3}) × 1 = (\frac{x}{3} + \frac{y}{3}) × (\frac{1}{y} + \frac{4}{x}) = \frac{x}{3y} + \frac{4y}{3x} + \frac{5}{3} \geqslant 2\sqrt{\frac{x}{3y} · \frac{4y}{3x}} + \frac{5}{3} = 3$，当且仅当$\frac{x}{3y} = \frac{4y}{3x}$，即$x = 6$，$y = 3$时取等号，
所以$\frac{3}{x + y}$的最大值为$\frac{1}{3}$.

7. (多选)已知$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ a + b = 1 $，对于代数式$ \left(1 + \frac{1}{a}\right)\left(1 + \frac{1}{b}\right) $，下列说法正确的是 (AC)

A.最小值为$ 9 $
B.最大值为$ 9 $
C.当$ a = b = \frac{1}{2} $时取得最小值
D.当$ a = b = \frac{1}{2} $时取得最大值

答案： 7.AC 原式$= 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = 1 + \frac{a + b}{ab} + \frac{1}{ab} = 1 + \frac{2}{ab}$，因为
$ab \leqslant (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{1}{4}$，当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时，等号成立，所以$\frac{1}{ab} \geqslant 4$，所以原式$= 1 + \frac{2}{ab} \geqslant 9$，所以当$a = b = \frac{1}{2}$时取得最小值9.故选AC.

8. (多选)已知$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且$ 2a + b = 1 $，则下列结论正确的是 (BC)

A.$ ab $的最小值为$ \frac{1}{8} $
B.$ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} $的最小值为$ 8 $
C.$ \sqrt{2a} + \sqrt{b} $的最大值为$ \sqrt{2} $
D.$ (a + 1)(b + 1) $的最大值为$ 2 $

答案： 8.BC $\because a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$2a + b = 1$，$\therefore$由基本不等式可得，$1 = 2a + b \geqslant 2\sqrt{2ab}$，解得$ab \leqslant \frac{1}{8}$，当且仅当$2a = b = \frac{1}{2}$，即$a = \frac{1}{4}$，$b = \frac{1}{2}$时等号成立，故A错误；
$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{2}{b})(2a + b) = 4 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geqslant 4 + 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{4a}{b}} = 8$，当且仅当$\frac{b}{a} = \frac{4a}{b}$，即$a = \frac{1}{4}$，$b = \frac{1}{2}$时取等号，故B正确；
$\because a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$2a + b = 1$，$\therefore 1 = 2a + b \geqslant 2\sqrt{2ab}$，$\sqrt{2a} + \sqrt{b} ＞ 0$，$\therefore (\sqrt{2a} + \sqrt{b})^{2} = 2a + b + 2\sqrt{2ab} \leqslant 2a + b + 2a + b = 2$，$\therefore \sqrt{2a} + \sqrt{b} \leqslant \sqrt{2}$，当且仅当$2a = b = \frac{1}{2}$，即$a = \frac{1}{4}$，$b = \frac{1}{2}$时等号成立，$\therefore \sqrt{2a} + \sqrt{b}$的最大值为$\sqrt{2}$，故C正确；
$(a + 1)(b + 1) = (a + 2a + b)(b + 2a + b) = 2(3a + b) · (a + b) = 2(3a^{2} + 4ab + b^{2}) = 2[(2a + b)^{2} - a^{2}] = 2(1 - a^{2}) ＜ 2$，故D错误.故选BC.

9. 若$ 0 ＜ x ＜ \frac{1}{3} $，则$ y = 2x(1 - 3x) $的最大值是$\frac{1}{6}$。

答案： 9.$\frac{1}{6}$
解析 由$0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$得$0 ＜ 3x ＜ 1$，$- 1 ＜ - 3x ＜ 0$，
$0 ＜ 1 - 3x ＜ 1$，
所以利用基本不等式可得$\frac{3x + (1 - 3x)}{2} \geqslant \sqrt{3x(1 - 3x)}$，
整理得$3x(1 - 3x) \leqslant \frac{1}{4}$，
即$x(1 - 3x) \leqslant \frac{1}{12}$，当且仅当$3x = 1 - 3x$，即$x = \frac{1}{6}$时，等号
成立，所以$2x(1 - 3x) \leqslant 2 × \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$.
故当$x = \frac{1}{6}$时，$y = 2x(1 - 3x)$的最大值为$\frac{1}{6}$.

10. (2024·湖南株洲期中)函数$ f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1} $($ x ＞ 1 $)的最小值为8。

答案： 10.8
解析 令$t = x - 1$，则$x = t + 1$，因为$x ＞ 1$，所以$t ＞ 0$，
由$f(x) = \frac{x^{2} + 8}{x - 1}(x ＞ 1)$，
可得$g(t) = \frac{(t + 1)^{2} + 8}{t} = \frac{t^{2} + 2t + 9}{t} = t + \frac{9}{t} + 2$，
因为$t + \frac{9}{t} \geqslant 2\sqrt{t × \frac{9}{t}} = 6$，当且仅当$t = \frac{9}{t}$，即$t = 3$，$x = 4$时，等号成立，
所以$f(x)$的最小值为8.

11. 已知$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且$ 2a + b = ab - 1 $，则$ a + 2b $的最小值为$5 + 2\sqrt{6}$。

答案： 11.$5 + 2\sqrt{6}$
解析 由$2a + b = ab - 1$，得$a = \frac{b + 1}{b - 2}$，
因为$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以$a = \frac{b + 1}{b - 2} ＞ 0$，$b + 1 ＞ 0$，$b - 2 ＞ 0$，所以$b ＞ 2$，
所以$a + 2b = \frac{b + 1}{b - 2} + 2b = \frac{(b - 2) + 3}{b - 2} + 2(b - 2) + 4 = 2(b - 2) + \frac{3}{b - 2} + 5 \geqslant 2\sqrt{2(b - 2) · \frac{3}{b - 2}} + 5 = 5 + 2\sqrt{6}$，
当且仅当$2(b - 2) = \frac{3}{b - 2}$，即$b = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}$时等号成立.
所以$a + 2b$的最小值为$5 + 2\sqrt{6}$.

12. 设$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ a + b = 5 $，则$ \sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 3} $的最大值为$3\sqrt{2}$。

答案： 12.$3\sqrt{2}$
解析 设$\sqrt{a + 1} = m$，$\sqrt{b + 3} = n$，
$\therefore m ＞ 0$，$n ＞ 0$，且$m^{2} + n^{2} = a + b + 4 = 9$.
由$(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2} + 2mn \leqslant 2(m^{2} + n^{2})$，
则$(m + n)^{2} \leqslant 18$，$\therefore m + n \leqslant 3\sqrt{2}$，
当且仅当$m = n = \frac{3\sqrt{2}}{2}$时，等号成立，故$\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 3}$的最大值为$3\sqrt{2}$.

13. 已知$ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且$ 2x + 8y - xy = 0 $，求：
(1) $ xy $的最小值；
(2) $ x + y $的最小值。

答案： 13.解
(1)由$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$2x + 8y - xy = 0$，得$\frac{8}{x} + \frac{2}{y} = 1$，
则$1 = \frac{8}{x} + \frac{2}{y} \geqslant 2\sqrt{\frac{8}{x} · \frac{2}{y}} = \frac{8}{\sqrt{xy}}$，
得$xy \geqslant 64$，当且仅当$x = 16$，$y = 4$时，等号成立.
所以$xy$的最小值为64.
(2)由
(1)可得$\frac{8}{x} + \frac{2}{y} = 1$，
则$x + y = (\frac{8}{x} + \frac{2}{y}) · (x + y) = 10 + \frac{2x}{y} + \frac{8y}{x} \geqslant 10 + 2\sqrt{\frac{2x}{y} · \frac{8y}{x}} = 18$，
当且仅当$x = 12$且$y = 6$时，等号成立，
所以$x + y$的最小值为18.