《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知集合$A=\{x\in \mathbf{R}\mid ax^2-3x+1=0,a\in \mathbf{R}\}$，求集合$A$满足下列条件时实数$a$的所有可能取值构成的集合。
（1）集合$A$中有且仅有一个元素；
（2）集合$A$中有两个元素。

答案： 10.解
(1)集合A中有且仅有一个元素，即方程$ax^{2}-3x+1=0,a \in R$只有一个解，
①当$a=0$时，方程为$-3x+1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，符合要求；
②当$a \neq 0$时，方程为一元二次方程，由$\Delta=9-4a=0$，解得$a=\frac{9}{4}$，所以a的所有可能取值构成的集合为$\{0,\frac{9}{4}\}$。
(2)集合中有两个元素，即方程$ax^{2}-3x+1=0,a \in R$为一元二次方程，且方程有两个不等的实数解，所以$a \neq 0$，且$\Delta=9-4a＞0$，解得$a＜\frac{9}{4}$且$a \neq 0$，所以a的所有可能取值构成的集合为$\{a \mid a＜0$或$0＜a＜\frac{9}{4}\}$。

11. (2025·山东威海期末)已知集合$A=\{x\mid x=2m-1,m\in \mathbf{Z}\}$，$B=\{x\mid x=2n,n\in \mathbf{Z}\}$且$x_1,x_2\in A$，$x_3\in B$，则下列判断不正确的是(D)

A.$x_1· x_2\in A$
B.$x_2· x_3\in B$
C.$x_1+x_2\in B$
D.$x_1+x_2+x_3\in A$

答案： 11.D 由$x_1,x_2 \in A$，$x_3 \in B$，可知$x_1,x_2$是奇数，$x_3$是偶数。
因为两个奇数的乘积为奇数，所以$x_1 · x_2 \in A$，故A正确；
因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以$x_2 · x_3 \in B$，故B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以$x_1+x_2 \in B$，故C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以$x_1+x_2+x_3 \in B$，故D错误。

12. (多选)下列说法错误的是(BD)

A.在平面直角坐标系内，第一、第三象限内的点组成的集合为$\{(x,y)\mid xy＞0\}$
B.方程$\sqrt{x-2}+|y+2|=0$的解集为$\{-2,2\}$
C.$\{x\mid x＜-8$，且$x＞-5\}$中的元素个数为0
D.若$A=\{x\in \mathbf{Z}\mid -1\leqslant x\leqslant 1\}$，则$-1.1\in A$

答案： 12.BD A项，第一象限内的点$(x,y)$满足$x＞0,y＞0$，第三象限内的点$(x,y)$满足$x＜0,y＜0$，故A正确；B项，方程的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=-2\end{cases}$，故解集为$\{(2,-2)\}$，故B错误；C项，小于-8且大于-5的数不存在，故C正确；D项，$A=\{-1,0,1\}$，所以$-1.1 \notin A$，故D错误。

13. 若集合$\{x\mid \frac{a}{3}＜x＜\frac{3a}{2}\}$恰有8个整数元素，写出$a$的一个值：7(答案不唯一，实数a满足$\frac{20}{3}＜a \leq \frac{22}{3}$即可)。

答案： 13.7(答案不唯一，实数a满足$\frac{20}{3}＜a \leq \frac{22}{3}$即可)
解析 依题意可得$7＜\frac{3a}{2}-\frac{a}{3} \leq 9$，解得$6＜a \leq \frac{54}{7}$，
则$2＜\frac{a}{3} \leq \frac{18}{7}$，$9＜\frac{3a}{2} \leq \frac{81}{7}$。
所以集合$\{x \mid \frac{a}{3}＜x＜\frac{3a}{2}\}$的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以$10＜\frac{3a}{2} \leq 11$，解得$\frac{20}{3}＜a \leq \frac{22}{3}$。
故a的一个值为7。

14. 已知集合$A=\{x\in \mathbf{N}\mid \frac{9}{10-x}\in \mathbf{N}\}$，$B=\{\frac{9}{10-x}\in \mathbf{N}\mid x\in \mathbf{N}\}$，试问集合$A$与$B$有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合。

答案： 14.解 对于集合A,B，因为$x \in N$，$\frac{9}{10-x} \in N$，
所以当$x=1$时，$\frac{9}{10-x}=1$；
当$x=7$时，$\frac{9}{10-x}=3$；
当$x=9$时，$\frac{9}{10-x}=9$。
所以$A=\{1,7,9\}$，$B=\{1,3,9\}$，
所以集合A与B有2个相同的元素，故集合A与B的相同元素组成的集合为$\{1,9\}$。

15. (多选)设所有被4除余数为$k(k=0,1,2,3)$的整数组成的集合为$A_k$，即$A_k=\{x\mid x=4n+k,n\in \mathbf{Z}\}$，则下列结论中正确的是(ACD)

A.$2025\in A_1$
B.若$a+b\in A_3$，则$a\in A_1$，$b\in A_2$
C.$-1\in A_3$
D.若$a\in A_k$，$b\in A_k$，则$a-b\in A_0$

答案： 15.ACD $2025=4 × 506+1$，所以$2025 \in A_1$，故A正确；若$a+b \in A_3$，则$a \in A_1$，$b \in A_2$或$a \in A_2$，$b \in A_1$或$a \in A_0$，$b \in A_3$或$a \in A_3$，$b \in A_0$，故B错误；$-1=4 × (-1)+3$，所以$-1 \in A_3$，故C正确；令$a=4n+k$，$b=4m+k$，$m,n \in Z$，则$a-b=4(n-m)+0$，$n-m \in Z$，故$a-b \in A_0$，故D正确。