《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)下列函数为幂函数的是 (BD)

A.$ y = 2x^{\frac{1}{3}} $
B.$ y = x^{0} $
C.$ y = (x + 1)^{2} $
D.$ y = x^{-1} $

答案： 1.BD 由幂函数的定义知，函数$y=x^{\alpha}$，$y=x^{-1}$为幂函数.

2. (2024·浙江温州期中)已知$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的幂函数，则$ f(0) - f(1) = $ (B)

A.0
B.-1
C.1
D.不确定

答案： 2.B 设$f(x)=x^{\alpha}$，$\because$幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的定义域是$\mathbf{R}$，
$\therefore f(0)=0,f(1)=1,\therefore f(0)-f(1)=-1$.故选B.

3. 下列不等式在$ a ＜ b ＜ 0 $的条件下不成立的是 (D)

A.$ a^{-1} ＞ b^{-1} $
B.$ a^{\frac{1}{3}} ＜ b^{\frac{1}{3}} $
C.$ b^{2} ＜ a^{2} $
D.$ a^{-\frac{2}{3}} ＞ b^{-\frac{2}{3}} $

答案： 3.D 分别构造函数$y=x^{-1},y=x^{\frac{1}{3}},y=x^{2},y=x^{-\frac{2}{3}}$，其中函
数$y=x^{-1},y=x^{2}$在$(-\infty,0)$上为减函数，而$y=x^{\frac{1}{3}},y=$
$x^{-\frac{2}{3}}$在$(-\infty,0)$上为增函数，故D不成立.

4. 已知幂函数$ y = x^{4 - a^{2}} $是偶函数，且在$ (0, +\infty) $上单调递增，则整数$ a $的值为 (B)

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： 4.B 因为幂函数$y=x^{4-a^{2}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，
所以$4-a^{2}＞0$，解得$-2＜a＜2$，又因为$a$是整数，所以$a$的可能取值为$-1,0,1$.
当$a=0$时，$y=x^{4-a^{2}}=x^{4}$为偶函数，符合题意；
当$a=-1$或$1$时，幂函数$y=x^{4-a^{2}}=x^{3}$为奇函数，不符合
题意.

5. 已知函数$ f(x) = (m^{2} - 2m - 2)x^{m^{2} + m - 1} $是幂函数，且在区间$ (0, +\infty) $上单调递增，则实数$ m = $ (A)

A.3
B.-1
C.1
D.3或-1

答案： 5.A 因为函数$f(x)=(m^{2}-2m-2)x^{m^{2}+m-1}$是幂函数，且在
$(0,+\infty)$上单调递增，所以$\begin{cases}m^{2}-2m-2=1,\\m^{2}+m-1＞0,\end{cases}$解得$m=3$.故
选A.

6. (多选)(2024·浙江嘉兴期末)已知幂函数$ f(x) = x^{\alpha} $的图象经过点$ (4, 2) $，则 (ABC)

A.$ \alpha = \frac{1}{2} $
B.$ f(x) $的图象经过点$ (1, 1) $
C.$ f(x) $在区间$ [0, +\infty) $上单调递增
D.不等式$ f(x) \geq x $的解集为$ \{x | x \leq 1\} $

答案： 6.ABC 由幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象经过点$(4,2)$，则$2=4^{\alpha}$，
得$\alpha=\frac{1}{2}$，所以幂函数$f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，所以A正确；因为
$f(1)=\sqrt{1}=1$，即$f(x)$的图象经过点$(1,1)$，所以B正确；
$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，所以C正确；不等式
$f(x)\geqslant x$，即$\sqrt{x}\geqslant x$，解得$0\leqslant x\leqslant1$，所以D错误.故
选ABC.

7. 已知幂函数$ f(x) = kx^{\alpha} $的图象过点$ \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $，则$ f\left( \frac{1}{4} \right) $的值为$\frac{1}{2}$.

答案： 7.$\frac{1}{2}$
解析$f(\frac{1}{2})=k· (\frac{1}{2})^{k}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$k=1$，
$\therefore \alpha=\frac{1}{2},f(x)=x^{\frac{1}{2}},\therefore f(\frac{1}{4})=(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.

8. 写出一个同时具有下列三个性质的一个幂函数：$y=x^{-2}$(答案不唯一).
(1)偶函数；(2)值域是$ \{y | y ＞ 0\} $；(3)在$ (-\infty, 0) $上是增函数.

答案： 8.$y=x^{-2}$(答案不唯一)
解析 函数$y=f(x)=x^{-2}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0，+ \infty)$，显然$f(-x)=(-x)^{-2}=x^{-2}=f(x)$，即函数$f(x)$
是偶函数，由于$x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}＞0$，因此函数$f(x)$的值域是
$\{y|y＞0\}$，函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,0)$
上单调递增，所以$y=x^{-2}$是同时具有给定三个性质的一个
幂函数.

9. 已知幂函数$ f(x) = (m^{2} - m - 1)x^{m^{2} - 2m - 1} $.
(1)求$ f(x) $的解析式；
(2)若$ f(x) $的图象不经过坐标原点，直接写出函数$ f(x) $的单调区间.

答案： 9.解
(1)由题意可知$m^{2}-m-1=1$，
解得$m=-1$或$m=2$，
当$m=-1$时，$f(x)=x^{2}$；当$m=2$时，$f(x)=x^{-1}$.
综上，$f(x)=x^{2}$或$f(x)=x^{-1}$.
(2)因为$f(x)$的图象不经过坐标原点，
所以由
(1)知$f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$，
由反比例函数性质知，函数$f(x)=x^{-1}$的单调递减区间为
$(0,+\infty)$和$(-\infty,0)$，无单调递增区间.