《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 已知$a,b\in \mathbf{R}$，条件$p:a ＞ b$，条件$q:\lg a ＞ \lg b$，则$p$是$q$的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B 若$q:\lg a＞\lg b$成立，根据对数函数$y = \lg x$的性质，可得a ＞ b ＞ 0，即由q可以推出p.
若p:a ＞ b成立，当a = 1,b = 0时，满足a ＞ b.
但是此时$\lg b$无意义，所以$\lg a＞\lg b$不成立，即由p不可以推出q.
综上，p是q的必要不充分条件.故选B.

2. 函数$f(x)=\frac{\sqrt{1-\ln x}}{x - 1}$的定义域为(D)

A.$(\mathrm{e},+\infty )$
B.$(1,\mathrm{e}]$
C.$(-\infty ,1)$
D.$(0,1)\cup (1,\mathrm{e}]$

答案： 2.D 要使函数有意义，需满足$\begin{cases}1 - \ln x \geq 0,\\x - 1 \neq 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}0 ＜ x \leq e,\\x \neq 1,\end{cases}$
所以函数$f(x)=\frac{\sqrt{1 - \ln x}}{x - 1}$的定义域为$(0,1)\cup(1,e]，$故选D.

3. 设$a = \log$${2}3$，$b = \log$${3}4$，$c = 2$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是(D)

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$c ＞ b ＞ a$
D.$c ＞ a ＞ b$

答案： 3.D 依题意，$\log_{2}\sqrt{2}＜\log_{3}3＜\log_{2}4，$即有$\frac{3}{2}＜\log_{2}3＜2，$则
$\frac{3}{2}$＜a＜2，b = \log_{4}3＜\log_{3}3\sqrt{3}=\frac{3}{2}，因此c ＞ a ＞ b.

4. 设$a ＞ 1$，函数$f(x)=\log$${a}x$在区间$[a,2a]$上的最大值与最小值之差为$\frac{1}{2}$，则$a =$(D)

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$

答案： 4.D 因为a ＞ 1，所以$y = \log_{a}x$在[a,2a]上单调递增，所以
$\log_{a}(2a)-\log_{a}a=\frac{1}{2}，$即$\log_{a}2=\frac{1}{2}，$所以$a^{\frac{1}{2}} = 2，$解得a =
4.故选D.

5. (多选)函数$y = f(x)$是函数$y = a^{x}(a ＞ 0$且$a\neq 1)$的反函数，则下列结论正确的是(ABC)

A.$f(x^{2}) = 2f(x)$
B.$f(2x) = f(x) + f(2)$
C.$f\left(\frac{1}{2}x\right) = f(x) - f(2)$
D.$f(2x) = 2f(x)$

答案： 5.ABC 因为函数y = f(x)是函数$y = a^{x}(a ＞ 0$且$a\neq1)$的反
函数，所以$f(x)=\log_{a}x(a ＞ 0$且$a\neq1)，$所以$f(x^{2}) =$
$\log_{a}x^{2}=2\log_{a}x = 2f(x)，$$f(2x)=\log_{a}2x=\log_{2}2 + \log_{a}x =$
f(x)+f
(2)，$f(\frac{1}{2}x)=\log_{a}\frac{1}{2}x=\log_{a}x-\log_{2}2 = f(x)-$
f
(2)，所以选项A、B、C正确，D错误.

6. 设点$P(a,b)(a\neq 0,b\neq \frac{1}{4})$在函数$y = 2^{2x}$的图象上，点$P$关于直线$y = x$的对称点为$Q$，则点$Q$在函数(B)

A.$y = \log$${2}x$的图象上
B.$y = \frac{1}{2}\log$${2}x$的图象上
C.$y = 2\log$${2}x$的图象上
D.$y = 1 + \log$${2}x$的图象上

答案： 6.B 因为点$P(a,b)(a\neq0,b\neq\frac{1}{4})$在函数$y = 2^{2x}$的图象上，
点P关于直线y = x的对称点为Q，所以点Q在函数y =
$2^{2x}=4^{x}$的反函数的图象上，即$y = \log_{4}x=\frac{1}{2}\log_{2}x，$故点Q
在函数$y = \frac{1}{2}\log_{2}x$的图象上.故选B.

7. 不等式$\log$${\frac{1}{3}}(5 + x) ＜ \log$${\frac{1}{3}}(1 - x)$的解集为(-2,1)。

答案： 7.(-2,1)
解析 因为函数$y = \log_{\frac{1}{3}}x$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以
$\begin{cases}5 + x ＞ 0,\\1 - x ＞ 0,\\5 + x ＞ 1 - x,\end{cases}$解得-2 ＜ x ＜ 1.

8. （2025·安徽阜阳一中月考）如果函数$f(x) = (3 - a)^{x}$与$g(x) = \log$${a}x$的单调性相同，则实数$a$的取值范围是(1,2)。

答案： 8.(1,2)
解析 若f(x)，g(x)均为增函数，则$\begin{cases}3 - a ＞ 1,\\a ＞ 1,\end{cases}$解得
1 ＜ a ＜ 2；若f(x)，g(x)均为减函数，则$\begin{cases}0 ＜ 3 - a ＜ 1,\\0 ＜ a ＜ 1,\end{cases}$无解.
故实数a的取值范围是(1,2).

9. 已知函数$f(x) = \log$${3}(x + a) - \log$${3}(5 - 2x)$，且$f(2) = 1$。
(1) 求$a$的值及$f(x)$的定义域；
(2) 求不等式$f(x) ＞ 1$的解集。

答案： 9.解
(1)因为$f(2)=\log_{a}(2 + a)-\log_{a}(5 - 4)$
$=\log_{a}(a + 2)-0 = 1，$解得a = 1，
所以$f(x)=\log_{3}(x + 1)-\log_{3}(5 - 2x)，$
由题意可得$\begin{cases}x + 1 ＞ 0,\\5 - 2x ＞ 0,\end{cases}$解得$-1 ＜ x ＜ \frac{5}{2}，$
故f(x)的定义域为$(-1,\frac{5}{2}).$
(2)不等式f(x) ＞ 1等价于$\log_{3}(x + 1)-\log_{3}(5 - 2x) ＞ 1，$
即$\log_{3}(x + 1)＞\log_{3}(5 - 2x)+\log_{3}3=\log_{3}[3(5 - 2x)]，$
由于$y = \log_{3}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，
则$\begin{cases}x + 1＞3(5 - 2x),\\x + 1 ＞ 0,\\5 - 2x ＞ 0,\end{cases}$解得$2 ＜ x ＜ \frac{5}{2}.$
故不等式f(x) ＞ 1的解集为$(2,\frac{5}{2}).$