《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. 已知定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的奇函数$f(x)$满足$f(x + 2)=f(x)$，则$f(2)$的值是(A)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$4$

答案： 1.A 由题意得$f(0 + 2) = f(2) = f(0) = 0$。

2. 已知$f(x)=(m - 1)x^2 + 2mx + 3$为偶函数，则$f(x)$在区间$(2,5)$上(B)

A.单调递增
B.单调递减
C.有增有减
D.增减性不确定

答案： 2.B 由$f(x)$是偶函数，知$f(-x) = f(x)$，得$m = 0$，所以$f(x) = -x^{2} + 3$，由函数$f(x) = -x^{2} + 3$的图象，知$f(x)$在区间$(2,5)$上单调递减.

3. 已知函数$f(x)$是定义域为$\boldsymbol{\mathrm{R}}$的奇函数，且$f(x)=f(4 - x)$，当$-2\leqslant x\lt0$时，$f(x)=\dfrac{1}{x}$，则$f\left(\dfrac{7}{2}\right)=$(D)

A.$-2$
B.$-\dfrac{2}{7}$
C.$\dfrac{2}{7}$
D.$2$

答案： 3.D $\because f(x) = f(4 - x)$，$\therefore f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，$\therefore f(\frac{7}{2}) = f(\frac{1}{2})$.又$\because$函数$f(x)$为奇函数，$\therefore f(\frac{1}{2}) = -f(-\frac{1}{2}) = -(-2) = 2$，即$f(\frac{7}{2}) = 2$.

4. 已知定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的奇函数$f(x)$，且当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)$单调递增，则不等式$f(2x + 1)+f(1)\geqslant0$的解集是(C)

A.$(-\infty,1)$
B.$(-1,+\infty)$
C.$[-1,+\infty)$
D.$(-\infty,1]$

答案： 4.C 因为函数$f(x)$是奇函数，所以不等式$f(2x + 1) + f(1) \geqslant 0$等价于$f(2x + 1) \geqslant f(-1)$.又当$x \geqslant 0$时，函数$f(x)$单调递增，所以函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数，所以$f(2x + 1) \geqslant f(-1)$等价于$2x + 1 \geqslant -1$，解得$x \geqslant -1$.

5. 已知函数$f(x)$在区间$(0,2)$上单调递减，又函数$y = f(x + 2)$是偶函数，那么$f(x)$(B)

A.在区间$(2,4)$上单调递减
B.在区间$(2,4)$上单调递增
C.在区间$(-2,0)$上单调递减
D.在区间$(-2,0)$上单调递增

答案： 5.B $\because$函数$y = f(x + 2)$是偶函数，$\therefore$函数$y = f(x + 2)$的图象关于$y$轴对称，即函数$y = f(x)$的图象关于$x = 2$对称，
$\because$函数$f(x)$在$(0,2)$上单调递减，$\therefore$函数$f(x)$在$(2,4)$上单调递增.函数在$(-2,0)$的单调性无法确定.故选B.

6. 已知函数$f(x)(x\in\boldsymbol{\mathrm{R}})$，满足$f(x)=f(2 - x)$，若$y = |x - 1|$与$y = f(x)$图象的交点为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，$(x_4,y_4)$，则$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =$(C)

A.$-4$
B.$0$
C.$4$
D.$8$

答案： 6.C 因为$f(x) = f(2 - x)$，所以$f(x)(x \in \mathbf{R})$的图象关于$x = 1$轴对称，又$y = |x - 1|$与$y = f(x)$图象的交点关于$x = 1$轴对称，不妨设$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$关于$x = 1$轴对称，$(x_{3},y_{3})$，$(x_{4},y_{4})$关于$x = 1$轴对称，则$x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = (x_{1} + x_{2}) + (x_{3} + x_{4}) = 2 + 2 = 4$.

7. (多选)已知$f(x)$是定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的奇函数，$g(x)$是定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的偶函数，且$f(x)$，$g(x)$在区间$(-\infty,0]$上单调递增，则下列结论正确的是(AC)

A.$f(f(1))\lt f(f(2))$
B.$f(g(-1))\lt f(g(2))$
C.$g(f(1))\gt g(f(2))$
D.$g(g(1))\gt g(g(2))$

答案： 7.AC 对于A，因为$f(x)$是奇函数，且在$(-\infty,0]$上单调递增，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$f(1) ＜ f(2)$，则$f(f(1)) ＜ f(f(2))$，所以A正确；
对于B，因为$g(x)$是偶函数，且在$(-\infty,0]$上单调递增，所以$g(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，所以$g(-1) = g(1) ＞ g(2)$，所以$f(g(-1)) ＞ f(g(2))$，所以B错误；
对于C，因为$0 = f(0) ＜ f(1) ＜ f(2)$，所以$g(f(1)) ＞ g(f(2))$，所以C正确；
对于D，虽然$g(1) ＞ g(2)$，但$g(1)$，$g(2)$的正负无法确定，所以$g(g(1))$，$g(g(2))$大小关系不确定，所以D错误.故选AC.

8. 记$\max\{x,y\}=\begin{cases}x,x\geqslant y,\\y,y\gt x,\end{cases}$已知$f(x)$，$g(x)$均是定义在实数集$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的函数，设$h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$，有下列两个命题：
①若函数$f(x)$，$g(x)$都是奇函数，则$h(x)$也是奇函数；
②若函数$f(x)$，$g(x)$都是减函数，则$h(x)$也是减函数.
则关于两个命题判断正确的是(C)

A.①②都正确
B.①正确，②错误
C.①错误，②正确
D.①②都错误

答案： 8.C 对于①，设$f(x) = 2x$，$g(x) = x$，则函数$f(x)$，$g(x)$都是奇函数，$h(x) = \begin{cases} 2x, x \geqslant 0, \\ x, x ＜ 0, \end{cases}$显然$h(x)$不是奇函数，故①错误；
对于②，因为函数$f(x)$，$g(x)$都是减函数，所以对于$\forall x_{1}$，$x_{2} \in \mathbf{R}$，且$x_{1} ＜ x_{2}$时，有$f(x_{1}) ＞ f(x_{2})$，$g(x_{1}) ＞ g(x_{2})$.又$h(x) = \max\{f(x),g(x)\}$，所以有$h(x_{1}) = \max\{f(x_{1}),g(x_{1})\}$，$h(x_{2}) = \max\{f(x_{2}),g(x_{2})\}$，所以必有$h(x_{1}) ＞ f(x_{2})$且$h(x_{1}) ＞ g(x_{2})$.又$h(x_{2}) = \max\{f(x_{2}),g(x_{2})\}$，所以有$h(x_{1}) ＞ h(x_{2})$，所以$h(x)$也是减函数，故②正确.

9. 写出一个满足$f(1 + x)=f(1 - x)$，且$f(0)\gt f(3)$的函数$f(x)$的解析式：$\boldsymbol{$$f(x)=-(x - 1)^{2}（$答案不唯一）$}$.

答案： 9.$f(x)=-(x - 1)^{2}$（答案不唯一）
解析 由$f(1 + x) = f(1 - x)$，可知函数$f(x)$的图象关于$x = 1$对称，可设$f(x) = -(x - 1)^{2}$，又$f(0) = -1$，$f(3) = -4$，满足$f(0) ＞ f(3)$.所以函数$f(x)$的解析式可以为$f(x) = -(x - 1)^{2}$.

10. 定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的奇函数$f(x)$满足$f(1 + 4x)-f(1 - 4x)=8x$，则$f(2)=$ $\boldsymbol{$$2$$}$，$f(4)=$ $\boldsymbol{$$4$$}$.

答案： 10.2 4
解析 由$f(1 + 4x) - f(1 - 4x) = 8x$，得$f(1 + x) - f(1 - x) = 2x$.
因为$f(x)$为奇函数，$x \in \mathbf{R}$，所以$f(1 + x) + f(x - 1) = 2x$，$f(0) = 0$，
则$f(x + 2) + f(x) = 2x + 2$.
令$x = 0$，得$f(2) + f(0) = 2$，则$f(2) = 2$.
令$x = 2$，得$f(4) + f(2) = 6$，则$f(4) = 4$.

11. 设函数$f(x)$是定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的奇函数，$f(-2)=0$，若对任意两个不相等的正数$x_1$，$x_2$都有$\dfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1 - x_2}\lt0$，则不等式$\dfrac{f(x)}{x}\lt0$的解集为$\boldsymbol{$$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$$}$.

答案： 11.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$
解析 构造函数$g(x)=\frac{f(x)}{x}$，因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，故$g(x)$为定义域是$\{x|x \neq 0\}$的偶函数，又因为对任意两个不相等的正数$x_{1}$，$x_{2}$都有$\frac{x_{2}f(x_{1}) - x_{1}f(x_{2})}{x_{1} - x_{2}} ＜ 0$，即$-\frac{\frac{f(x_{1})}{x_{1}} - \frac{f(x_{2})}{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} ＜ 0 \Rightarrow \frac{g(x_{1}) - g(x_{2})}{x_{1} - x_{2}} ＜ 0$，故$g(x)$在$(0,+\infty)$上为减函数.
又$f(-2) = 0$，故$g(-2) = \frac{f(-2)}{-2} = 0$.
综上，$g(x)$为偶函数，且在$(-\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减，且$g(-2) = g(2) = 0$.
故$\frac{f(x)}{x} ＜ 0$即$g(x) ＜ g(2)$，
根据函数性质得不等式解集为$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$.

12. 设$f(x)$是定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的奇函数，且$y = f(x)$的图象关于直线$x=\dfrac{1}{2}$对称，则$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=$ $\boldsymbol{$$0$$}$.

答案： 12.0
解析 $\because f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，$\therefore f(0) = 0$.
又$f(x)$的图象关于直线$x = \frac{1}{2}$对称，$\therefore f(\frac{1}{2} - x) = f(\frac{1}{2} + x)$.①
在①式中，当$x = \frac{1}{2}$时，$f(0) = f(1) = 0$.
在①式中，以$\frac{1}{2} + x$代替$x$，得$f(\frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + x)) = f(\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} + x))$，即$f(-x) = f(1 + x)$.
$\therefore f(2) = f(1 + 1) = f(-1) = -f(1) = 0$，$f(3) = f(1 + 2) = f(-2) = -f(2) = 0$，
同理，$f(4) = f(5) = 0$.
$\therefore f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 0$.

13. 已知二次函数$f(x)=ax^2 + bx + c(a\neq0)$，恒有$f(x + 2)-f(x)=4x$，$f(0)=3$.
(1) 求函数$f(x)$的解析式；
(2) 设$g(x)=f(x)-mx$，若函数$g(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为$3$，求实数$m$的值.

答案： 13.解
(1)由题知，$f(x + 2) - f(x) = a(x + 2)^{2} + b(x + 2) + c - (ax^{2} + bx + c) = 4ax + 4a + 2b = 4x$，所以$\begin{cases} 4a = 4, \\ 4a + 2b = 0, \end{cases}$解得$a = 1$，$b = -2$，又$f(0) = 3$，所以$c = 3$，所以$f(x) = x^{2} - 2x + 3$.
(2)由
(1)可得$g(x) = x^{2} - (m + 2)x + 3$，其图象开口向上，对称轴为直线$x = \frac{m + 2}{2}$，
当$\frac{m + 2}{2} ＜ \frac{3}{2}$，即$m ＜ 1$时，$g(x)$在$x = 2$处取得最大值，故$4 - 2(m + 2) + 3 = 3$，解得$m = 0$，
当$\frac{m + 2}{2} \geqslant \frac{3}{2}$，即$m \geqslant 1$时，$g(x)$在$x = 1$处取得最大值，故$1 - (m + 2) + 3 = 3$，解得$m = -1$(舍去).
综上，实数$m$的值为$0$.