《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学必修第一册人教版》

1. (2024·云南大理期末)不等式$x^{2}-x + a\geqslant0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是(A)

A.$a\geqslant\frac{1}{4}$
B.$a\geqslant-\frac{1}{4}$
C.$a\leqslant\frac{1}{4}$
D.$a\leqslant-\frac{1}{4}$

答案： 1.A 因为不等式$x^{2}-x+a \geq 0$的解集为$\mathbf{R}$，所以判别式$\Delta =1-4a \leq 0$，解得$a \geq \frac{1}{4}$，故选A.

2. (2024·山东淄博期中)已知$y = \sqrt{x^{2}+mx+\frac{m}{2}}$对一切$x\in\mathbf{R}$恒成立，则实数$m$的取值范围是(D)

A.$m ＞ 2$
B.$m\leqslant0$或$m\geqslant2$
C.$m ＜ 0$或$m ＞ 2$
D.$0\leqslant m\leqslant2$

答案： 2.D 由题意可得$x^{2}+mx+\frac{m}{2} \geq 0$对一切$x \in \mathbf{R}$恒成立，所以$\Delta =m^{2}-4 × \frac{m}{2}=m^{2}-2m \leq 0$，解得$0 \leq m \leq 2$，故选D.

3. (多选)已知关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + 3 ＞ 0$，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(BD)

A.不等式的解集可以是$\{x\mid x ＞ 3\}$
B.不等式的解集可以是$\mathbf{R}$
C.不等式的解集可以是$\varnothing$
D.不等式的解集可以是$\{x\mid - 1 ＜ x ＜ 3\}$

答案： 3.BD 选项A，假设结论成立，则$\begin{cases}a=0,\\3b + 3 = 0,\end{cases}$无实数解，故选项A错误；
选项B，当$a = 1$，$b = 0$时，不等式$x^{2}+3＞0$恒成立，则解集是$\mathbf{R}$，故选项B正确；
选项C，当$x = 0$时，$ax^{2}+bx + 3 = 3＞0$，则解集不可能为$\varnothing$，故选项C错误；
选项D，假设结论成立，则$\begin{cases}a ＜ 0,\\a - b + 3 = 0,\\9a + 3b + 3 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1,\\b = 2,\end{cases}$符合题意，故选项D正确.故选BD.

4. 对任意$x$满足$-1\leqslant x\leqslant2$，不等式$x^{2}-2x + a ＜ 0$恒成立的必要不充分条件是(C)

A.$a ＜ - 3$
B.$a ＜ - 4$
C.$a ＜ 0$
D.$a ＞ 0$

答案： 4.C 因为$x^{2}-2x + a ＜ 0$，所以$a ＜ -x^{2}+2x$，又因为$-1 \leq x \leq 2$，所以$-x^{2}+2x=-(x - 1)^{2}+1 \geq -3$，所以$a ＜ -3$，又因为求“对任意$x$满足$-1 \leq x \leq 2$，不等式$x^{2}-2x + a ＜ 0$恒成立的必要不充分条件”，所以$\{a \mid a ＜ -3\}$是$a$的所有取值构成的集合的真子集，故选C.

5. 若对于任意$x\in\{x\mid m\leqslant x\leqslant m + 1\}$，都有$x^{2}+mx - 1 ＜ 0$成立，则实数$m$的取值范围是(B)

A.$-\frac{2}{3} ＜ m ＜ 0$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ m ＜ 0$
C.$-\frac{2}{3}\leqslant m\leqslant0$
D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant m\leqslant0$

答案： 5.B 由题意得$\begin{cases}m^{2}+m^{2}-1$＜0,\m + 1)^{2}+m(m + 1)-1＜0,\end{cases}
解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜m＜0，$即实数m的取值范围是$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜m＜0.$

6. 若命题“$\exists - 1\leqslant a\leqslant3$，$ax^{2}-(2a - 1)x + 3 - a ＜ 0$”为假命题，则实数$x$的取值范围为(C)

A.$\{x\mid - 1\leqslant x\leqslant4\}$
B.$\{x\mid 0\leqslant x\leqslant\frac{5}{3}\}$
C.$\{x\mid - 1\leqslant x\leqslant0 或 \frac{5}{3}\leqslant x\leqslant4\}$
D.$\{x\mid - 1\leqslant x ＜ 0 或 \frac{5}{3} ＜ x\leqslant4\}$

答案： 6.C 由题意可得，命题“$\forall -1 \leq a \leq 3$，$ax^{2}-(2a - 1)x + 3 - a \geq 0$”为真命题，即$ax^{2}-(2a - 1)x + 3 - a=(x^{2}-2x - 1)a + x + 3 \geq 0$对任意的$-1 \leq a \leq 3$恒成立，则$\begin{cases}-(x^{2}-2x - 1)+x + 3 \geq 0,\\3(x^{2}-2x - 1)+x + 3 \geq 0,\end{cases}$解得$-1 \leq x \leq 0$或$\frac{5}{3} \leq x \leq 4$，即实数$x$的取值范围为$\{x \mid -1 \leq x \leq 0$或$\frac{5}{3} \leq x \leq 4\}$.

7. (2024·浙江杭州学军中学月考)若关于$x$的不等式$x^{2}-(m + 1)x + 9\leqslant0$在集合$\{x\mid 1\leqslant x\leqslant4\}$上有解，则实数$m$的最小值为(B)

A.$9$
B.$5$
C.$6$
D.$\frac{21}{4}$

答案： 7.B 因为不等式$x^{2}-(m + 1)x + 9 \leq 0$在集合$\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}$上有解，所以$m + 1 \geq x+\frac{9}{x}$在集合$\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}$上有解，所以$m + 1 \geq (x+\frac{9}{x})_{\min}(x \in \{x \mid 1 \leq x \leq 4\})$，又因为$x+\frac{9}{x} \geq 2\sqrt{x · \frac{9}{x}} = 6$，当且仅当$x=\frac{9}{x}$，即$x = 3$时取等号，所以$m + 1 \geq 6$，所以$m \geq 5$，即实数$m$的最小值为$5$，故选B.

8. 如果不等式$\frac{2x^{2}+2mx + m}{4x^{2}+6x + 3} ＜ 1$对一切实数$x$均成立，则实数$m$的取值范围是(D)

A.$\mathbf{R}$
B.$\{m\mid m ＜ 3\}$
C.$\{m\mid m ＜ 1 或 m ＞ 2\}$
D.$\{m\mid 1 ＜ m ＜ 3\}$

答案： 8.D $\because 4x^{2}+6x + 3 = 4(x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16})+\frac{3}{4} = 4(x+\frac{3}{4})^{2}+\frac{3}{4}＞0$，
$\therefore 2x^{2}+2mx + m ＜ 4x^{2}+6x + 3$，
即$2x^{2}+(6 - 2m)x + 3 - m ＞ 0$对$\forall x \in \mathbf{R}$恒成立，$\Delta =(6 - 2m)^{2}-4 × 2 × (3 - m)=4m^{2}-24m + 36 - 24 + 8m = 4m^{2}-16m + 12＜0$，$\therefore 1 ＜ m ＜ 3$，故$m$的取值范围是$\{m \mid 1 ＜ m ＜ 3\}$.

9. 若关于$x$的不等式$x^{2}-4x - 2 - a\geqslant0$在$\{x\mid 1\leqslant x\leqslant4\}$内有解，则实数$a$的取值范围是$a \leq -2$。

答案： 9.$a \leq -2$
解析 关于$x$的不等式$x^{2}-4x - 2 - a \geq 0$在$\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}$内有解，等价于在$\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}$内，$a \leq (x^{2}-4x - 2)_{\max}$，因为当$x = 4$时，函数$y = x^{2}-4x - 2=(x - 2)^{2}-6$取到最大值，为$-2$，所以$a \leq -2$.

10. 关于$x$的不等式$(a^{2}-1)x^{2}-(a - 1)x - 1\leqslant0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是。

答案： 10.$\begin{cases}a \mid -\frac{3}{5} \leq a \leq 1\end{cases}$
解析 当$a^{2}-1 = 0$时，$a = 1$或$a = -1$，若$a = 1$，不等式为$-1 \leq 0$，恒成立；若$a = -1$，不等式为$2x - 1 \leq 0$，解得$x \leq \frac{1}{2}$，不符合题意.当$a^{2}-1 \neq 0$时，若要不等式$(a^{2}-1)x^{2}-(a - 1)x - 1 \leq 0$的解集为$\mathbf{R}$，则$a^{2}-1＜0$，且$\Delta = (a - 1)^{2}+4(a^{2}-1) \leq 0$，解得$-\frac{3}{5} \leq a ＜ 1$.综上可得，实数$a$的取值范围是$\begin{cases}a \mid -\frac{3}{5} \leq a \leq 1\end{cases}$.

11. (2025·广西柳州二中月考)已知$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{y}=2$。若$x + 2y ＞ m^{2}-3m - 1$恒成立，则实数$m$的取值范围为$\{m \mid -1 ＜ m ＜ 4\}$。

答案： 11.$\{m \mid -1 ＜ m ＜ 4\}$
解析 解法一：由$\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{y}=2$，得$2y + x + 1 = 2(x + 1)y$，
所以$x + 1 = 2xy$，所以$2y = 1+\frac{1}{x}$，所以$x + 2y = x+\frac{1}{x}+1 \geq 2\sqrt{x · \frac{1}{x}}+1 = 3$，且当仅当$x = 1$，$y = 1$时等号成立，
所以$(x + 2y)_{\min} = 3$.又$x + 2y＞m^{2}-3m - 1$恒成立，则
$3＞m^{2}-3m - 1$，即$m^{2}-3m - 4＜0$，解得$-1 ＜ m ＜ 4$.
解法二：由题意知$x + 2y + 1＞m^{2}-3m$恒成立.又$x + 2y + 1=\frac{1}{2}(\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{y})[(x + 1)+2y]=\frac{1}{2}(2 + 2+\frac{4y}{x + 1}+\frac{x + 1}{y}) \geq \frac{1}{2}(4 + 2\sqrt{\frac{4y}{x + 1} · \frac{x + 1}{y}})=4$，当且仅当$2y = x + 1$，即$x = 1$，$y = 1$时取等号，所以$m^{2}-3m＜4$，解得$-1 ＜ m ＜ 4$.

12. 已知对一切$2\leqslant x\leqslant3$，$3\leqslant y\leqslant6$，不等式$mx^{2}-xy + y^{2}\geqslant0$恒成立，则实数$m$的最小值为0。

答案： 12.0
解析 因为$2 \leq x \leq 3$，所以$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}$，所以$1 \leq \frac{y}{x} \leq 3$，
由不等式$mx^{2}-xy + y^{2} \geq 0$恒成立，且$2 \leq x \leq 3$，可得
$m \geq \frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^{2}$恒成立，
令$t = \frac{y}{x}$，则$1 \leq t \leq 3$，则原题意等价于对一切$1 \leq t \leq 3$，
$m \geq t - t^{2}$恒成立，
当$t = 1$时，$(t - t^{2})_{\max} = 1 - 1^{2} = 0$，
故实数$m$的取值范围是$m \geq 0$，故$m$的最小值为$0$.

13. 已知函数$y = mx^{2}-mx - 6 + m$，若对于$1\leqslant m\leqslant3$，$y ＜ 0$恒成立，求实数$x$的取值范围。

答案： 13.解 由题意得$y = mx^{2}-mx - 6 + m ＜ 0$，即
$(x^{2}-x + 1)m - 6 ＜ 0.\because 1 \leq m \leq 3$，$\therefore x^{2}-x + 1＜\frac{6}{m}$恒成立，$\therefore x^{2}-x + 1＜\frac{6}{3}$，即$x^{2}-x - 1＜0$，解得$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
$\therefore$实数$x$的取值范围为$\begin{cases}x \mid \frac{1 - \sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\end{cases}$.